Proportions et évolutions

Les pourcentages sont partout : soldes, élections, économie, santé. Encore faut-il savoir s'ils décrivent une proportion ou une évolution, et éviter le piège de les additionner.

  • Calculer et utiliser une proportion
  • Traiter un pourcentage de pourcentage
  • Utiliser le coefficient multiplicateur
  • Enchaîner et inverser des évolutions

Cours

1. Proportions

Soit $E$ une population (ensemble de référence) d'effectif $n_E$ et $A$ une sous-population de $E$ d'effectif $n_A$. La proportion (ou fréquence) de $A$ dans $E$ est $$p = \frac{n_A}{n_E}.$$ C'est un nombre entre 0 et 1, qu'on peut écrire sous forme décimale, fractionnaire ou en pourcentage.

Dans une classe de 32 élèves, 12 font du théâtre : $p = \frac{12}{32} = \frac{3}{8} = 0{,}375 = 37{,}5\,\%$.

$$n_A = p \times n_E \qquad \text{et} \qquad n_E = \frac{n_A}{p}.$$

On calcule une partie connaissant le tout, ou le tout connaissant une partie.

25 % des 480 élèves d'un lycée sont en seconde : $0{,}25 \times 480 = 120$ élèves.

63 personnes représentent 35 % d'un groupe : le groupe compte $\frac{63}{0{,}35} = 180$ personnes.

2. Proportion de proportion

Si $A \subset B \subset E$, avec $p_1$ la proportion de $A$ dans $B$ et $p_2$ la proportion de $B$ dans $E$, alors la proportion de $A$ dans $E$ est $$p = p_1 \times p_2.$$

60 % des élèves d'un lycée sont demi-pensionnaires, et 40 % des demi-pensionnaires mangent végétarien. Proportion des élèves du lycée qui sont demi-pensionnaires végétariens : $0{,}4 \times 0{,}6 = 0{,}24$, soit 24 %.

Proportion ou évolution ? « 20 % des élèves sont internes » est une proportion (une partie d'un tout). « Le prix a augmenté de 20 % » est une évolution (une variation entre deux valeurs). Les calculs ne sont pas les mêmes !

3. Évolutions

Une grandeur passe d'une valeur $V_1$ (valeur de départ, non nulle) à une valeur $V_2$ (valeur d'arrivée).

  • Variation absolue : $V_2 - V_1$ (variation additive, dans l'unité de la grandeur).
  • Variation relative (ou taux d'évolution) : $t = \dfrac{V_2 - V_1}{V_1}$, souvent exprimée en pourcentage.

Le coefficient multiplicateur est $CM = \dfrac{V_2}{V_1}$ (variation multiplicative). On a $V_2 = CM \times V_1$ et $$CM = 1 + t.$$

  • Augmenter de $t\,\%$ revient à multiplier par $1 + \dfrac{t}{100}$ : $+5\,\% \to \times 1{,}05$ ; $+120\,\% \to \times 2{,}2$.
  • Diminuer de $t\,\%$ revient à multiplier par $1 - \dfrac{t}{100}$ : $-5\,\% \to \times 0{,}95$ ; $-30\,\% \to \times 0{,}7$.
  • $CM > 1$ : hausse ; $CM < 1$ : baisse.

Un loyer passe de 650 € à 689 € : variation absolue $+39$ € ; taux $\frac{39}{650} = 0{,}06 = +6\,\%$ ; coefficient multiplicateur $\frac{689}{650} = 1{,}06$.

Un article à 80 € est soldé à $-35\,\%$ : nouveau prix $80 \times 0{,}65 = 52$ €.

4. Évolutions successives et réciproques

Si une grandeur subit des évolutions successives de coefficients $CM_1$, $CM_2$, …, $CM_n$, le coefficient multiplicateur global est le produit : $$CM_{\text{global}} = CM_1 \times CM_2 \times \dots \times CM_n.$$

Une hausse de 20 % suivie d'une baisse de 20 % ne ramène pas au prix de départ : $1{,}2 \times 0{,}8 = 0{,}96$, soit une baisse globale de 4 %.

Deux hausses de 10 % donnent $1{,}1^2 = 1{,}21$, soit $+21\,\%$ et non $+20\,\%$.

L'évolution qui permet de revenir à la valeur de départ après une évolution de coefficient $CM$ a pour coefficient multiplicateur $\dfrac{1}{CM}$.

Exemple : après une hausse de 25 % ($CM = 1{,}25$), le coefficient réciproque est $\frac{1}{1{,}25} = 0{,}8$ : il faut une baisse de 20 %.

Après une hausse de 8 %, un prix vaut 54 €. Prix initial : $V_1 = \frac{54}{1{,}08} = 50$ €. (Et surtout pas $54 \times 0{,}92$ !)

Une population augmente de 21 % en deux ans. Si le taux annuel $t$ était le même chaque année : $(1 + t)^2 = 1{,}21$, donc $1 + t = \sqrt{1{,}21} = 1{,}1$ : $t = 10\,\%$ par an.

Mini-jeux

Exercices

  1. Sur 1 250 votants, 450 ont voté pour la liste A. Quelle proportion (en %) ?
  2. Un sondage indique que 18 % des 2 500 personnes interrogées font du vélo tous les jours. Combien de personnes ?
  3. Dans une association, les 84 bénévoles représentent 12 % des adhérents. Combien y a-t-il d'adhérents ?
  1. $\frac{450}{1250} = 0{,}36 = 36\,\%$.
  2. $0{,}18 \times 2\,500 = 450$ personnes.
  3. $\frac{84}{0{,}12} = 700$ adhérents.

Donner le coefficient multiplicateur associé à : $+15\,\%$ ; $-15\,\%$ ; $+100\,\%$ ; $-2{,}5\,\%$ ; $+0{,}3\,\%$. Inversement, quelle évolution correspond à $CM = 0{,}88$ ; $1{,}4$ ; $3$ ?

$1{,}15$ ; $0{,}85$ ; $2$ ; $0{,}975$ ; $1{,}003$. $\;$ $0{,}88$ : $-12\,\%$ ; $1{,}4$ : $+40\,\%$ ; $3$ : $+200\,\%$ (triplement).

Le nombre d'abonnés d'une chaîne passe de 12 500 à 16 000. Calculer la variation absolue, le taux d'évolution et le coefficient multiplicateur.

Taux en % :

Variation absolue : $+3\,500$ abonnés. Taux : $\frac{3500}{12500} = 0{,}28 = +28\,\%$. $\;CM = 1{,}28$.

En France, environ 52 % des habitants sont des femmes, et environ 7 % des femmes ont plus de 80 ans. Quelle proportion de la population est constituée de femmes de plus de 80 ans ?

$0{,}52 \times 0{,}07 = 0{,}0364$, soit environ $3{,}6\,\%$ de la population.

Un manteau à 180 € est soldé de 30 %, puis d'une « démarque supplémentaire » de 20 % sur le prix soldé.

  1. Quel est le prix final ?
  2. Quel est le pourcentage de réduction global ? Est-ce 50 % ?
  1. $180 \times 0{,}7 \times 0{,}8 = 100{,}80$ €.
  2. $CM = 0{,}56$, soit $-44\,\%$ et non $-50\,\%$.

Une action perd 40 % de sa valeur. De quel pourcentage doit-elle augmenter pour retrouver sa valeur initiale ?

$CM = 0{,}6$, coefficient réciproque $\frac{1}{0{,}6} = \frac{5}{3} \approx 1{,}667$ : il faut une hausse d'environ $66{,}7\,\%$.

Après une baisse de 15 %, un billet d'avion coûte 212,50 €. Quel était son prix avant la baisse ?

$V_1 = \frac{212{,}5}{0{,}85} = 250$ €.

Un journal écrit : « Le chômage des jeunes a augmenté de 2 % ; il touche désormais 17 % des 15-24 ans. » Expliquer pourquoi « 2 % » est ambigu, et distinguer les deux lectures possibles si le taux de chômage était de 15 % l'année précédente.

« 17 % » est une proportion. « +2 % » peut désigner une variation absolue de la proportion (+2 points de pourcentage : de 15 % à 17 %) ou une évolution relative (+2 % de 15 %, soit 15,3 %). Ici, de 15 % à 17 %, c'est +2 points, mais une hausse relative de $\frac{2}{15} \approx 13{,}3\,\%$.

Le prix d'un abonnement a augmenté de 5 % par an pendant 4 ans.

  1. Quel est le pourcentage d'augmentation global ?
  2. Écrire un programme Python qui détermine au bout de combien d'années le prix aura doublé.
  1. $1{,}05^4 \approx 1{,}2155$ : environ $+21{,}6\,\%$ (et non +20 %).
  2. cm = 1
n = 0
while cm < 2:
    cm = cm * 1.05
    n = n + 1
print(n)   # 15

Le chiffre d'affaires d'une entreprise augmente de 30 % la première année puis baisse de 10 % la deuxième. Quel taux annuel constant aurait donné le même résultat sur deux ans ?

$CM_{\text{global}} = 1{,}3 \times 0{,}9 = 1{,}17$. On cherche $t$ tel que $(1 + t)^2 = 1{,}17$ : $1 + t = \sqrt{1{,}17} \approx 1{,}0817$, soit environ $+8{,}2\,\%$ par an (et non $\frac{30 - 10}{2} = 10\,\%$).

Dans une entreprise, le salaire des ouvriers augmente de 5 % et celui des cadres de 3 %. Est-il possible que le salaire moyen de l'entreprise augmente de moins de 3 % ? Proposer un exemple.

Oui, si la composition des effectifs change. Exemple : l'an 1, 10 cadres à 4 000 € et 10 ouvriers à 2 000 € (moyenne 3 000 €). L'an 2, 5 cadres à 4 120 € et 15 ouvriers à 2 100 € : moyenne $\frac{5 \times 4120 + 15 \times 2100}{20} = 2\,605$ € : une baisse de la moyenne de plus de 13 % ! (C'est un effet de structure.)