Équations, inéquations et signe
Résoudre, c'est trouver toutes les valeurs qui conviennent. On revoit le premier degré, on apprend à exploiter un produit nul et à étudier le signe d'une expression grâce à un tableau.
- Résoudre une équation ou inéquation du 1er degré
- Utiliser l'équation produit nul
- Résoudre $x^2 = a$
- Dresser un tableau de signes
Cours
1. Équations
Une équation d'inconnue $x$ est une égalité qui peut être vraie ou fausse selon la valeur de $x$. Une solution est une valeur de $x$ pour laquelle l'égalité est vraie. Résoudre l'équation, c'est trouver l'ensemble $S$ de toutes ses solutions.
On obtient une équation équivalente (mêmes solutions) en :
- ajoutant ou soustrayant un même nombre (ou une même expression) aux deux membres ;
- multipliant ou divisant les deux membres par un même nombre non nul.
Résoudre $5x - 3 = 2x + 9$.
$5x - 3 - 2x = 2x + 9 - 2x \iff 3x - 3 = 9 \iff 3x = 12 \iff x = 4$. $\quad$ Donc $S = \{4\}$.
Plus généralement, pour $a \neq 0$ : $\;ax + b = 0 \iff x = -\dfrac{b}{a}$.
Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul : $$A \times B = 0 \iff A = 0 \;\text{ ou }\; B = 0.$$
Résoudre $(2x - 6)(x + 5) = 0$. $\quad 2x - 6 = 0$ ou $x + 5 = 0$, soit $x = 3$ ou $x = -5$. $\quad S = \{-5\,;\,3\}$.
Résoudre $x^2 = 7x$. $\quad x^2 - 7x = 0 \iff x(x - 7) = 0 \iff x = 0$ ou $x = 7$. $\quad S = \{0\,;\,7\}$.
Ne jamais diviser par $x$ pour « simplifier » $x^2 = 7x$ : on perdrait la solution $x = 0$ (diviser par une quantité qui peut être nulle est interdit). On factorise après avoir tout passé du même côté.
- Si $a > 0$ : $\;x^2 = a \iff x = \sqrt{a}$ ou $x = -\sqrt{a}$ (deux solutions).
- Si $a = 0$ : $\;x^2 = 0 \iff x = 0$ (une solution).
- Si $a < 0$ : aucune solution, car un carré est toujours positif. $S = \varnothing$.
En effet, pour $a > 0$ : $x^2 - a = (x - \sqrt{a})(x + \sqrt{a})$, et on applique la règle du produit nul.
Un quotient est nul si et seulement si son numérateur est nul et son dénominateur non nul : $\;\dfrac{A}{B} = 0 \iff A = 0$ et $B \neq 0$.
Exemple : $\dfrac{x - 2}{x + 3} = 0 \iff x = 2$ (et $2 \neq -3$). $S = \{2\}$. La valeur $-3$ est une valeur interdite.
2. Inéquations du premier degré
- Ajouter ou soustraire un même nombre aux deux membres conserve le sens de l'inégalité.
- Multiplier ou diviser par un nombre strictement positif conserve le sens.
- Multiplier ou diviser par un nombre strictement négatif change le sens de l'inégalité.
Exemple : $2 < 5$ mais $-3 \times 2 = -6 > -15 = -3 \times 5$.
Résoudre $3 - 4x \geqslant 11$.
$-4x \geqslant 8 \iff x \leqslant \dfrac{8}{-4}$ (on divise par $-4 < 0$ : le sens change) $\iff x \leqslant -2$.
$S = ]-\infty\,;\,-2]$.
Un abonnement de téléphonie coûte 12 € par mois plus 0,15 € par Go consommé au-delà du forfait. Combien de Go supplémentaires peut-on consommer pour payer au plus 20 € ?
On note $x$ le nombre de Go supplémentaires : $12 + 0{,}15x \leqslant 20 \iff 0{,}15x \leqslant 8 \iff x \leqslant \dfrac{8}{0{,}15} \approx 53{,}3$. On peut consommer au plus 53 Go supplémentaires.
3. Signe d'une expression
L'expression $ax + b$ s'annule en $x = -\dfrac{b}{a}$. Elle est du signe de $a$ à droite de cette valeur, et du signe contraire à gauche.
| Si $a > 0$ | |||||
|---|---|---|---|---|---|
| $x$ | $-\infty$ | $-\frac{b}{a}$ | $+\infty$ | ||
| $ax+b$ | − | 0 | + | ||
| Si $a < 0$ | |||||
|---|---|---|---|---|---|
| $x$ | $-\infty$ | $-\frac{b}{a}$ | $+\infty$ | ||
| $ax+b$ | + | 0 | − | ||
Étudier le signe de $P(x) = (2x - 4)(-x + 3)$.
$2x - 4 = 0 \iff x = 2$ (coefficient $2 > 0$) ; $\;-x + 3 = 0 \iff x = 3$ (coefficient $-1 < 0$).
| $x$ | $-\infty$ | $2$ | $3$ | $+\infty$ | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $2x - 4$ | − | 0 | + | | | + | ||
| $-x + 3$ | + | | | + | 0 | − | ||
| $P(x)$ | − | 0 | + | 0 | − |
La dernière ligne s'obtient par la règle des signes. Ainsi $P(x) > 0 \iff x \in \,]2\,;\,3[$.
Pour $Q(x) = \dfrac{x + 1}{x - 2}$ : même méthode, mais on place une double barre ‖ là où le dénominateur s'annule (valeur interdite).
| $x$ | $-\infty$ | $-1$ | $2$ | $+\infty$ | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $x + 1$ | − | 0 | + | | | + | ||
| $x - 2$ | − | | | − | 0 | + | ||
| $Q(x)$ | + | 0 | − | ‖ | + |
$Q(x) \leqslant 0 \iff x \in [-1\,;\,2[$ (2 est exclu : valeur interdite).
Résoudre $x^2 < 9$. $\;x^2 - 9 < 0 \iff (x - 3)(x + 3) < 0$. Un tableau de signes donne $S = ]-3\,;\,3[$.
Réflexe : tout passer d'un côté, factoriser, puis tableau de signes.
4. Algorithme de seuil
Le programme demande de savoir déterminer, par un algorithme, la première valeur pour laquelle une quantité dépasse (ou passe sous) un seuil.
# Un capital de 1000 € est placé à 3 % par an. # Au bout de combien d'années dépasse-t-il 1500 € ? capital = 1000 annees = 0 while capital <= 1500: capital = capital * 1.03 annees = annees + 1 print(annees) # affiche 14
Mini-jeux
Exercices
Résoudre : $\;(1)\; 4x + 7 = -5$ ; $\;(2)\; 3(x - 2) = 5x + 4$ ; $\;(3)\; \dfrac{x}{3} - 1 = \dfrac{x}{2}$.
Solution de (3) : $x =$
(1) $4x = -12$, $x = -3$. (2) $3x - 6 = 5x + 4 \iff -2x = 10 \iff x = -5$. (3) On multiplie par 6 : $2x - 6 = 3x \iff x = -6$.
Résoudre : $\;(x - 4)(3x + 9) = 0$ ; $\;x(5 - 2x) = 0$ ; $\;(x + 1)^2 = 0$.
$S = \{-3\,;\,4\}$ ; $\;S = \{0\,;\,\frac{5}{2}\}$ ; $\;S = \{-1\}$.
Résoudre : $\;x^2 = 49$ ; $\;x^2 = 5$ ; $\;x^2 + 4 = 0$ ; $\;2x^2 - 18 = 0$.
$\{-7\,;\,7\}$ ; $\;\{-\sqrt{5}\,;\,\sqrt{5}\}$ ; $\;x^2 = -4$ : $S = \varnothing$ ; $\;x^2 = 9$ : $\{-3\,;\,3\}$.
Résoudre et donner la solution sous forme d'intervalle : $\;2x - 5 > 3$ ; $\;7 - 3x \leqslant 1$ ; $\;-\dfrac{x}{2} < 4$.
$x > 4$ : $]4\,;\,+\infty[$. $\;-3x \leqslant -6 \iff x \geqslant 2$ : $[2\,;\,+\infty[$. $\;x > -8$ (on multiplie par $-2$) : $]-8\,;\,+\infty[$.
Résoudre : $\;(1)\; x^2 = 3x$ ; $\;(2)\; (2x + 1)^2 = 9$ ; $\;(3)\; (x - 2)(x + 5) = (x - 2)(3x - 1)$.
(1) $x(x - 3) = 0$ : $S = \{0\,;\,3\}$.
(2) $2x + 1 = 3$ ou $2x + 1 = -3$ : $S = \{-2\,;\,1\}$.
(3) $(x - 2)\big[(x + 5) - (3x - 1)\big] = 0 \iff (x - 2)(-2x + 6) = 0$ : $S = \{2\,;\,3\}$.
Dresser le tableau de signes de $f(x) = (3 - x)(2x + 8)$ et en déduire les solutions de $f(x) \geqslant 0$.
$3 - x$ s'annule en 3 (positif puis négatif) ; $2x + 8$ s'annule en $-4$ (négatif puis positif). Produit : $-$ sur $]-\infty\,;\,-4[$, $+$ sur $]-4\,;\,3[$, $-$ sur $]3\,;\,+\infty[$. $\;S = [-4\,;\,3]$.
Résoudre $\dfrac{2x - 1}{x + 4} < 0$.
Valeur interdite $-4$. Numérateur nul en $\frac{1}{2}$. Tableau : $+$ sur $]-\infty\,;\,-4[$, $-$ sur $]-4\,;\,\frac12[$, $+$ ensuite. $\;S = ]-4\,;\,\frac{1}{2}[$.
Un rectangle a une longueur qui dépasse sa largeur de 3 cm. Si on augmente la largeur de 2 cm et qu'on diminue la longueur de 1 cm, l'aire augmente de 8 cm². Quelles sont les dimensions initiales ?
Largeur $x$, longueur $x + 3$. Nouvelle aire : $(x + 2)(x + 2) = (x + 2)^2$. Équation : $(x + 2)^2 = x(x + 3) + 8 \iff x^2 + 4x + 4 = x^2 + 3x + 8 \iff x = 4$. Le rectangle mesure 4 cm sur 7 cm (vérification : $28 + 8 = 36 = 6^2$).
Tarif A : 30 € d'inscription puis 6 € la séance. Tarif B : 10 € la séance sans inscription. À partir de combien de séances le tarif A est-il strictement plus avantageux ?
$30 + 6n < 10n \iff 30 < 4n \iff n > 7{,}5$. À partir de 8 séances.
Résoudre $(x + 1)^2 \geqslant 4x^2$.
Tout passer à gauche et reconnaître $A^2 - B^2$.
$(x + 1)^2 - (2x)^2 \geqslant 0 \iff (x + 1 - 2x)(x + 1 + 2x) \geqslant 0 \iff (1 - x)(3x + 1) \geqslant 0$. Racines $1$ et $-\frac13$. Tableau : positif entre les racines. $\;S = [-\frac{1}{3}\,;\,1]$.
On lâche une balle d'une hauteur de 2 m ; à chaque rebond, elle remonte aux $\frac{3}{4}$ de sa hauteur précédente.
- Écrire un programme Python qui détermine le nombre de rebonds après lequel la hauteur devient inférieure à 10 cm.
- Quel résultat obtient-on ?
h = 2 n = 0 while h >= 0.1: h = h * 0.75 n = n + 1 print(n)
On obtient $n = 11$ : $2 \times 0{,}75^{10} \approx 0{,}113$ m et $2 \times 0{,}75^{11} \approx 0{,}084$ m.
Soit $m$ un réel. On considère l'équation $(m - 2)x = m + 1$ d'inconnue $x$. Discuter, selon les valeurs de $m$, le nombre de solutions.
Si $m \neq 2$ : une unique solution $x = \dfrac{m + 1}{m - 2}$. Si $m = 2$ : l'équation devient $0 \times x = 3$, impossible : aucune solution.