Multiples, diviseurs et parité

Les nombres entiers cachent une structure : certains « rentrent » exactement dans d'autres. Ce chapitre donne le vocabulaire précis pour en parler et en démontrer les propriétés.

  • Utiliser les notations ℕ et ℤ
  • Reconnaître multiples et diviseurs
  • Démontrer avec les écritures $2k$ et $2k+1$
  • Rendre une fraction irréductible

Cours

1. Les entiers naturels et relatifs

$\mathbb{N}$ désigne l'ensemble des entiers naturels : $0 ; 1 ; 2 ; 3 ; \dots$

$\mathbb{Z}$ désigne l'ensemble des entiers relatifs : $\dots ; -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; \dots$

Tout entier naturel est un entier relatif : on écrit $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$ (« $\mathbb{N}$ est inclus dans $\mathbb{Z}$ »).

On écrit $5 \in \mathbb{N}$ (« 5 appartient à ℕ ») et $-3 \notin \mathbb{N}$ mais $-3 \in \mathbb{Z}$.

2. Multiples et diviseurs

Soient $a$ et $b$ deux entiers relatifs. On dit que $a$ est un multiple de $b$ s'il existe un entier relatif $k$ tel que $$a = k \times b.$$ On dit aussi que $b$ est un diviseur de $a$, ou que $b$ divise $a$, ou que $a$ est divisible par $b$ (lorsque $b \neq 0$).

  • $42 = 6 \times 7$ : $42$ est un multiple de $6$ et de $7$ ; $6$ et $7$ sont des diviseurs de $42$.
  • $-15 = (-3) \times 5$ : $-15$ est un multiple de $5$.
  • $0 = 0 \times b$ : $0$ est un multiple de tous les entiers.
  • $37$ n'est pas un multiple de $5$ car $37 = 5 \times 7 + 2$ : il reste $2$.

On effectue la division euclidienne de $a$ par $b$ (à la calculatrice : on regarde si $a \div b$ est un entier). $a$ est un multiple de $b$ si et seulement si le reste est nul.

En Python, l'opérateur % donne le reste : a % b == 0 vaut True quand $b$ divise $a$.

  • par 2 : le chiffre des unités est pair (0, 2, 4, 6, 8) ;
  • par 3 : la somme des chiffres est divisible par 3 ;
  • par 4 : le nombre formé par les deux derniers chiffres est divisible par 4 ;
  • par 5 : le chiffre des unités est 0 ou 5 ;
  • par 9 : la somme des chiffres est divisible par 9 ;
  • par 10 : le chiffre des unités est 0.

Soit $a$ un entier. La somme de deux multiples de $a$ est un multiple de $a$.

Soient $m$ et $n$ deux multiples de $a$. Il existe deux entiers $k$ et $k'$ tels que $m = k a$ et $n = k' a$.

Alors $m + n = ka + k'a = (k + k')a$ (on factorise par $a$).

Comme $k + k'$ est un entier, $m + n$ est un multiple de $a$. $\blacksquare$

On montre de même que la différence de deux multiples de $a$ est un multiple de $a$, et que tout multiple d'un multiple de $a$ est un multiple de $a$.

3. Nombres pairs et impairs

Un entier $n$ est pair s'il est multiple de 2 : il existe un entier $k$ tel que $n = 2k$.

Un entier $n$ est impair s'il n'est pas pair : il existe alors un entier $k$ tel que $n = 2k + 1$.

$18 = 2 \times 9$ est pair ($k = 9$). $\;25 = 2 \times 12 + 1$ est impair ($k = 12$). $\;-7 = 2 \times (-4) + 1$ est impair ($k = -4$).

$+$pairimpair
pairpairimpair
impairimpairpair
$\times$pairimpair
pairpairpair
impairpairimpair

Le carré d'un nombre impair est impair.

Soit $n$ un entier impair : il existe un entier $k$ tel que $n = 2k + 1$.

$n^2 = (2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1$.

Or $K = 2k^2 + 2k$ est un entier, donc $n^2 = 2K + 1$ est impair. $\blacksquare$

Pour démontrer une propriété sur tous les entiers, tester quelques exemples ne suffit pas : il faut utiliser l'écriture générale $2k$ ou $2k+1$. En revanche, un seul contre-exemple suffit à prouver qu'une affirmation est fausse.

Montrons que le produit de deux entiers consécutifs $n(n+1)$ est toujours pair.

Raisonnement par disjonction des cas. Si $n$ est pair, $n = 2k$ et $n(n+1) = 2\big(k(n+1)\big)$ est pair. Si $n$ est impair, $n + 1$ est pair, $n + 1 = 2k$, et $n(n+1) = 2(nk)$ est pair. Dans tous les cas, $n(n+1)$ est pair.

4. Fractions irréductibles

Une fraction $\dfrac{a}{b}$ (avec $a$, $b$ entiers, $b \neq 0$) est irréductible lorsque le seul diviseur positif commun à $a$ et $b$ est $1$.

On divise le numérateur et le dénominateur par leurs diviseurs communs, jusqu'à ce qu'il n'y en ait plus. Le plus rapide : diviser directement par le plus grand diviseur commun.

$\dfrac{84}{126} = \dfrac{42}{63} = \dfrac{14}{21} = \dfrac{2}{3}$ (divisions successives par $2$, $3$ puis $7$), ou directement : $\dfrac{84}{126} = \dfrac{2 \times 42}{3 \times 42} = \dfrac{2}{3}$.

Pour trouver les diviseurs communs, on peut lister les diviseurs de chaque nombre, ou décomposer : $84 = 2 \times 2 \times 3 \times 7$ et $126 = 2 \times 3 \times 3 \times 7$ ont en commun $2 \times 3 \times 7 = 42$.

5. Algorithmes

Deux algorithmes du programme, écrits en Python :

def est_multiple(a, b):
    # renvoie True si a est un multiple de b (b non nul)
    return a % b == 0

def plus_grand_multiple(a, b):
    # plus grand multiple de a inférieur ou égal à b (a, b entiers positifs)
    m = 0
    while m + a <= b:
        m = m + a
    return m

Tu peux les exécuter dans le chapitre « Algorithmique et programmation ». Remarque : a * (b // a) donne directement le même résultat que plus_grand_multiple(a, b).

Les propriétés des entiers passionnaient déjà Euclide (vers −300), dont les Éléments contiennent l'algorithme permettant de trouver le plus grand diviseur commun de deux nombres. Au XVIIe siècle, Pierre de Fermat relance l'étude de l'arithmétique.

Mini-jeux

Exercices

Recopier et compléter par « est un multiple de », « est un diviseur de » ou « divise » :

  1. $56 \;\dots\; 8$
  2. $9 \;\dots\; 81$
  3. $-12 \;\dots\; 4$
  4. $1 \;\dots\; 2026$
  1. $56 = 7 \times 8$ : 56 est un multiple de 8.
  2. $81 = 9 \times 9$ : 9 est un diviseur de 81 (ou 9 divise 81).
  3. $-12 = (-3)\times 4$ : $-12$ est un multiple de 4.
  4. $2026 = 2026 \times 1$ : 1 divise tout entier.

Donner la liste des diviseurs positifs de $60$, puis de $49$. Combien chacun en a-t-il ?

Nombre de diviseurs de 60 :

On cherche les paires : $60 = 1\times60 = 2\times30 = 3\times20 = 4\times15 = 5\times12 = 6\times10$. Diviseurs : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 : 12 diviseurs.

$49 = 1 \times 49 = 7 \times 7$ : diviseurs 1, 7, 49 : 3 diviseurs (nombre impair de diviseurs car 49 est un carré).

Sans poser de division, dire si $4\,572$ est divisible par 2, 3, 4, 5, 9.

Par 2 : oui (se termine par 2). Par 3 : $4+5+7+2 = 18$, divisible par 3 : oui. Par 4 : $72 = 4 \times 18$ : oui. Par 5 : non. Par 9 : $18$ est divisible par 9 : oui.

Rendre irréductibles : $\dfrac{45}{60}$, $\;\dfrac{126}{147}$, $\;\dfrac{-90}{162}$.

$\dfrac{45}{60} = \dfrac{3 \times 15}{4 \times 15} = \dfrac{3}{4}$ ; $\;\dfrac{126}{147} = \dfrac{6 \times 21}{7 \times 21} = \dfrac{6}{7}$ ; $\;\dfrac{-90}{162} = -\dfrac{5 \times 18}{9 \times 18} = -\dfrac{5}{9}$.

Démontrer que la somme de trois entiers consécutifs est toujours un multiple de 3.

Appeler $n$ le premier des trois entiers.

Les trois entiers s'écrivent $n$, $n+1$, $n+2$. Leur somme vaut $3n + 3 = 3(n+1)$. Comme $n+1$ est un entier, la somme est un multiple de 3.

Pour chaque affirmation, démontrer qu'elle est vraie ou donner un contre-exemple.

  1. La somme de deux nombres impairs est paire.
  2. La somme de deux multiples de 5 est un multiple de 10.
  3. Si $n$ est pair, alors $n^2$ est un multiple de 4.
  4. Si un nombre est divisible par 2 et par 4, il est divisible par 8.
  1. Vrai. $(2k+1) + (2k'+1) = 2(k+k'+1)$.
  2. Faux. $5 + 10 = 15$ n'est pas un multiple de 10.
  3. Vrai. $n = 2k$ donc $n^2 = 4k^2$.
  4. Faux. $4$ est divisible par 2 et par 4, mais pas par 8.

Démontrer que le produit de deux nombres impairs est impair.

Soient $m = 2k + 1$ et $n = 2k' + 1$. Alors $mn = 4kk' + 2k + 2k' + 1 = 2(2kk' + k + k') + 1$, avec $2kk' + k + k'$ entier : $mn$ est impair.

Soit $n$ un entier. On pose $A = n^2 + n$.

  1. Calculer $A$ pour $n = 1, 2, 3, 4, 5$. Que remarque-t-on ?
  2. Démontrer la conjecture.
  3. En déduire que $n^2 + n + 1$ est toujours impair.
  1. On obtient $2, 6, 12, 20, 30$ : $A$ semble toujours pair.
  2. $A = n(n+1)$ est le produit de deux entiers consécutifs ; l'un des deux est pair, donc $A$ est pair (voir l'exemple du cours).
  3. $n^2 + n + 1 = A + 1 = 2K + 1$ : c'est un nombre impair.

Un fleuriste dispose de 84 roses et 60 tulipes. Il veut composer des bouquets tous identiques en utilisant toutes les fleurs.

  1. Peut-il faire 8 bouquets ? 12 bouquets ?
  2. Quel est le nombre maximal de bouquets ? Quelle est alors la composition d'un bouquet ?
  1. Le nombre de bouquets doit diviser 84 et 60. 8 ne divise pas 84 ($84 = 8 \times 10 + 4$) : non. 12 divise 84 ($12 \times 7$) et 60 ($12 \times 5$) : oui.
  2. Diviseurs de 84 : 1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42, 84. Diviseurs de 60 : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60. Le plus grand diviseur commun est 12 : 12 bouquets de 7 roses et 5 tulipes.

On considère la fonction Python ci-dessous.

def mystere(n):
    c = 0
    for d in range(1, n + 1):
        if n % d == 0:
            c = c + 1
    return c
  1. Que renvoie mystere(12) ?
  2. Que calcule cette fonction en général ?
  3. Pour quels $n$ renvoie-t-elle 2 ?

mystere(12) =

  1. Les diviseurs de 12 sont 1, 2, 3, 4, 6, 12 : la fonction renvoie 6.
  2. Elle compte les diviseurs positifs de $n$.
  3. Elle renvoie 2 quand $n$ n'a que deux diviseurs, 1 et lui-même : ce sont les nombres premiers (2, 3, 5, 7, 11, …).

Soit $n$ un entier. Démontrer que $(n+1)^2 - n^2$ est impair. Quels nombres impairs peut-on obtenir ainsi ?

$(n+1)^2 - n^2 = n^2 + 2n + 1 - n^2 = 2n + 1$ : c'est un nombre impair. Pour $n$ entier naturel, on obtient $1, 3, 5, 7, \dots$ : tous les impairs positifs. Par exemple $17 = 9^2 - 8^2$.

Démontrer que le carré d'un nombre impair, diminué de 1, est un multiple de 8.

Écrire $n = 2k+1$, factoriser $n^2 - 1$ puis utiliser le fait que $k(k+1)$ est pair.

$n^2 - 1 = (2k+1)^2 - 1 = 4k^2 + 4k = 4k(k+1)$. Or $k(k+1)$ est pair : $k(k+1) = 2K$. Donc $n^2 - 1 = 8K$ est un multiple de 8. Exemple : $7^2 - 1 = 48 = 8 \times 6$.

Démontrer que si $n^2$ est pair, alors $n$ est pair.

Raisonnons par l'absurde : supposons $n^2$ pair et $n$ impair. D'après le cours, le carré d'un impair est impair, donc $n^2$ serait impair : contradiction. Donc $n$ est pair.

C'est aussi la contraposée de « si $n$ est impair alors $n^2$ est impair ».