Dérivation et variations

Le signe de la dérivée dit si la fonction monte ou descend. C'est l'outil central pour étudier une fonction, trouver ses extremums et résoudre des problèmes d'optimisation.

  • Relier signe de $f'$ et variations de $f$
  • Déterminer des extremums
  • Mener une étude complète de fonction
  • Reconnaître une fonction paire ou impaire

Cours

1. Signe de la dérivée et sens de variation

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$.

  • Si $f'(x) \geqslant 0$ pour tout $x \in I$, alors $f$ est croissante sur $I$.
  • Si $f'(x) \leqslant 0$ pour tout $x \in I$, alors $f$ est décroissante sur $I$.
  • $f$ est constante sur $I$ si et seulement si $f'(x) = 0$ pour tout $x \in I$.

Si $f' > 0$ sur $I$ sauf éventuellement en un nombre fini de points où elle s'annule, $f$ est strictement croissante (de même pour décroissante).

Si $f$ est croissante sur $I$, alors $f'(x) \geqslant 0$ sur $I$ (les taux de variation sont positifs, donc leur limite aussi).

2. Extremums

Soit $f$ dérivable sur un intervalle ouvert $I$ et $a \in I$. Si $f$ admet un extremum local en $a$, alors $f'(a) = 0$ : la tangente y est horizontale.

Réciproquement, si $f'$ s'annule en $a$ en changeant de signe, alors $f$ admet un extremum local en $a$.

$f'(a) = 0$ ne suffit pas : pour $f(x) = x^3$, $f'(0) = 0$ mais $f$ est croissante sur $\mathbb{R}$ ($f' = 3x^2$ ne change pas de signe). Il n'y a pas d'extremum en 0.

Étudions $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5$ sur $\mathbb{R}$.

  1. Dérivée : $f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x^2 - 2x - 3) = 3(x + 1)(x - 3)$.
  2. Signe : trinôme positif à l'extérieur des racines $-1$ et $3$.
  3. Tableau de variations : $f(-1) = 10$ et $f(3) = -22$.
$x$$-\infty$$-1$$3$$+\infty$
$f'(x)$+0−0+
$f$↗$10$↘$-22$↗

$f$ admet un maximum local 10 en $-1$ et un minimum local $-22$ en 3.

$f(x) = ax^2 + bx + c$ a pour dérivée $f'(x) = 2ax + b$, qui s'annule en $-\frac{b}{2a}$ en changeant de signe. On retrouve l'extremum au sommet de la parabole : minimum si $a > 0$, maximum si $a < 0$.

3. Fonctions paires et impaires

Soit $f$ définie sur un ensemble $D$ symétrique par rapport à 0 (si $x \in D$ alors $-x \in D$).

  • $f$ est paire si $f(-x) = f(x)$ pour tout $x \in D$ : sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
  • $f$ est impaire si $f(-x) = -f(x)$ pour tout $x \in D$ : sa courbe est symétrique par rapport à l'origine.

Exemples : $x^2$, $|x|$, $x^4 - 3x^2$ sont paires ; $x^3$, $\frac1x$, $x^3 - 5x$ sont impaires ; $x^2 + x$ n'est ni paire ni impaire.

Pour une fonction paire ou impaire, il suffit d'étudier $f$ sur $[0\,;\,+\infty[\,\cap D$ puis de compléter par symétrie. Si $f$ est paire, ses variations sur $]-\infty\,;\,0]$ sont inversées par rapport à celles sur $[0\,;\,+\infty[$ ; si $f$ est impaire, elles sont les mêmes.

4. Méthode de Newton

Pour approcher une solution de $f(x) = 0$, on remplace la courbe par sa tangente et on prend l'abscisse où la tangente coupe l'axe : $x_{n+1} = x_n - \dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}$. Dans les cas favorables, la convergence est extrêmement rapide.

def newton(x, n):
    # f(x) = x**2 - 2, f'(x) = 2x
    for i in range(n):
        x = x - (x**2 - 2) / (2 * x)
    return x

Méthodes à connaître

  1. Calcule $f'(x)$ et étudie son signe.
  2. Un extremum local correspond à un changement de signe de $f'$ (pas seulement à $f'(a) = 0$).
  3. Calcule la valeur de l'extremum $f(a)$ et précise s'il s'agit d'un maximum ou d'un minimum.
  1. Choisis la variable $x$ et son intervalle de validité.
  2. Exprime la grandeur à optimiser en fonction de $x$.
  3. Étudie les variations de cette fonction et conclus par une phrase avec l'unité.

Exemple. Rectangle de périmètre 20 : $A(x) = x(10 - x)$, $A'(x) = 10 - 2x$, maximum pour $x = 5$ : le carré.

Mini-jeux

Exercices

Dresser le tableau de variations de $f(x) = -2x^2 + 8x - 3$ en utilisant la dérivée.

Maximum de $f$ :

$f'(x) = -4x + 8$, positif sur $]-\infty\,;\,2]$, négatif après. $f$ croît puis décroît, maximum $f(2) = 5$.

Étudier la parité de : $\;f(x) = x^4 + x^2$ ; $\;g(x) = \dfrac{x}{x^2 + 1}$ ; $\;h(x) = x^3 + 1$.

$f(-x) = f(x)$ : paire. $\;g(-x) = -g(x)$ : impaire. $\;h(-1) = 0$ et $h(1) = 2$ : ni $h(-1) = h(1)$ ni $h(-1) = -h(1)$, donc ni paire ni impaire.

Soit $f(x) = x + \dfrac{4}{x}$ sur $]0\,;\,+\infty[$. Calculer $f'(x)$, étudier son signe et dresser le tableau de variations. Quel est le minimum de $f$ ?

$f'(x) = 1 - \frac{4}{x^2} = \frac{(x - 2)(x + 2)}{x^2}$, négatif sur $]0\,;\,2]$, positif après. Minimum $f(2) = 4$.

On reprend la boîte de volume $V(x) = x(20 - 2x)^2$ sur $[0\,;\,10]$ (chapitre de seconde). Montrer que $V'(x) = 12x^2 - 160x + 400$, puis déterminer la valeur exacte de $x$ donnant le volume maximal.

$V(x) = 4x^3 - 80x^2 + 400x$, $V'(x) = 12x^2 - 160x + 400 = 4(3x^2 - 40x + 100) = 4(3x - 10)(x - 10)$. Positif sur $[0\,;\,\frac{10}{3}]$, négatif sur $[\frac{10}{3}\,;\,10]$ : maximum pour $x = \frac{10}{3}$, $V = \frac{16\,000}{27} \approx 592{,}6$ cm³.

Soit $f(x) = x^3 - 3x + 1$. Dresser le tableau de variations de $f$ et en déduire le nombre de solutions de $f(x) = 0$.

$f'(x) = 3(x - 1)(x + 1)$ : $f$ croît jusqu'à $f(-1) = 3$, décroît jusqu'à $f(1) = -1$, puis croît. La courbe traverse l'axe une fois sur chaque intervalle : 3 solutions.

Démontrer que pour tout $x > 0$ : $\sqrt{x} \leqslant \dfrac{x + 1}{2}$ (étudier $g(x) = \frac{x + 1}{2} - \sqrt{x}$).

$g'(x) = \frac12 - \frac{1}{2\sqrt x} = \frac{\sqrt x - 1}{2\sqrt x}$ : négatif sur $]0\,;\,1]$, positif après. Minimum $g(1) = 0$, donc $g(x) \geqslant 0$.

Appliquer la méthode de Newton à $f(x) = x^3 - 2$ pour approcher $\sqrt[3]{2}$. Donner la relation de récurrence et calculer deux itérations à partir de $x_0 = 1$.

$x_{n+1} = x_n - \frac{x_n^3 - 2}{3x_n^2} = \frac{2x_n^3 + 2}{3x_n^2}$. $x_1 = \frac43 \approx 1{,}3333$, $x_2 \approx 1{,}2639$ ($\sqrt[3]{2} \approx 1{,}2599$).