Suites arithmétiques et géométriques

Deux modèles fondamentaux : ajouter toujours la même quantité (croissance linéaire) ou multiplier toujours par le même nombre (croissance exponentielle). Ce sont les versions « discrètes » des fonctions affines et exponentielles.

  • Reconnaître une suite arithmétique ou géométrique
  • Calculer le terme général
  • Calculer des sommes de termes consécutifs
  • Modéliser une évolution linéaire ou exponentielle

Cours

1. Suites arithmétiques

Une suite $(u_n)$ est arithmétique s'il existe un réel $r$, appelé raison, tel que pour tout $n$ : $\;u_{n+1} = u_n + r$.

Les accroissements $u_{n+1} - u_n$ sont constants.

Si $(u_n)$ est arithmétique de raison $r$ : $\;u_n = u_0 + nr\;$ et plus généralement $\;u_n = u_p + (n - p)r$.

Ses points $(n\,;\,u_n)$ sont alignés : c'est la version discrète d'une fonction affine $x \mapsto u_0 + rx$.

Si $r > 0$ la suite est strictement croissante ; si $r < 0$ elle est strictement décroissante ; si $r = 0$ elle est constante.

On calcule $u_{n+1} - u_n$ et on montre que c'est une constante (indépendante de $n$). Pour $u_n = 7 - 3n$ : $u_{n+1} - u_n = 7 - 3n - 3 - 7 + 3n = -3$. Arithmétique de raison $-3$.

Pour tout entier naturel $n \geqslant 1$ : $\quad 1 + 2 + 3 + \dots + n = \dfrac{n(n + 1)}{2}$.

Notons $S = 1 + 2 + \dots + (n - 1) + n$. On écrit la même somme dans l'ordre inverse : $S = n + (n - 1) + \dots + 2 + 1$.

En additionnant terme à terme ces deux écritures, chaque colonne vaut $n + 1$ :

$$\begin{array}{rcccccc} S &=& 1 &+& 2 &+ \dots +& n \\ S &=& n &+& (n-1) &+ \dots +& 1 \\ \hline 2S &=& (n+1) &+& (n+1) &+ \dots +& (n+1) \end{array}$$

Il y a $n$ colonnes, donc $2S = n(n + 1)$ et $S = \dfrac{n(n + 1)}{2}$. $\blacksquare$

$$u_0 + u_1 + \dots + u_n = (n + 1)\times\frac{u_0 + u_n}{2} = \text{(nombre de termes)} \times \frac{\text{premier} + \text{dernier}}{2}.$$

En effet $u_0 + \dots + u_n = (n + 1)u_0 + r(1 + 2 + \dots + n) = (n+1)u_0 + r\frac{n(n+1)}{2} = (n+1)\frac{2u_0 + nr}{2}$.

2. Suites géométriques

Une suite $(v_n)$ est géométrique s'il existe un réel $q$, appelé raison, tel que pour tout $n$ : $\;v_{n+1} = q\,v_n$.

Le rapport $\dfrac{v_{n+1}}{v_n}$ est constant (lorsque les termes ne sont pas nuls).

$v_n = v_0 \times q^n$ et plus généralement $v_n = v_p \times q^{n - p}$.

  • Si $q > 1$ : strictement croissante ;
  • si $0 < q < 1$ : strictement décroissante ;
  • si $q = 1$ : constante ;
  • si $q < 0$ : ni croissante ni décroissante (les termes changent de signe).

Une grandeur qui augmente de $t\,\%$ à chaque étape est multipliée par $1 + \frac{t}{100}$ : elle suit une suite géométrique de raison $q = 1 + \frac{t}{100}$. Exemple : un capital de 1 000 € placé à 3 % par an vaut $1\,000 \times 1{,}03^n$ au bout de $n$ ans.

Pour tout réel $q \neq 1$ et tout entier naturel $n$ : $\quad 1 + q + q^2 + \dots + q^n = \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$.

Notons $S = 1 + q + q^2 + \dots + q^n$. Multiplions par $q$ : $qS = q + q^2 + \dots + q^n + q^{n+1}$.

Soustrayons : tous les termes intermédiaires s'éliminent, $$S - qS = 1 - q^{n+1}, \quad\text{soit}\quad (1 - q)S = 1 - q^{n+1}.$$

Comme $q \neq 1$, on peut diviser par $1 - q \neq 0$ : $S = \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$. $\blacksquare$

Si $q = 1$, la somme vaut simplement $n + 1$.

$$v_0 + v_1 + \dots + v_n = v_0 \times \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q} = \text{premier terme} \times \frac{1 - q^{\text{nombre de termes}}}{1 - q}.$$

3. Modéliser

  • Variation absolue constante (+ 200 habitants par an, − 15 € par mois) : suite arithmétique, croissance linéaire.
  • Variation relative constante (+ 2 % par an, divisé par 2 toutes les heures) : suite géométrique, croissance exponentielle.

Offre A : 1 800 € par mois la première année, puis +60 € par an. Offre B : 1 800 € puis +3 % par an. Salaires mensuels l'année $n$ : $a_n = 1\,800 + 60n$ et $b_n = 1\,800 \times 1{,}03^n$. Au début, les écarts sont faibles ($a_1 = 1\,860$, $b_1 = 1\,854$) mais $b_n$ finit par dépasser $a_n$ (à partir de $n = 8$ : $a_8 = 2\,280$ et $b_8 \approx 2\,280{,}2$) et l'écart se creuse ensuite très vite.

$1^2 + 2^2 + \dots + n^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ et $1^3 + 2^3 + \dots + n^3 = \left(\dfrac{n(n+1)}{2}\right)^2$. La tour de Hanoï à $n$ disques demande $2^n - 1 = 1 + 2 + 4 + \dots + 2^{n-1}$ déplacements.

Mini-jeux

Exercices

(a) $(u_n)$ arithmétique, $u_0 = 5$, $r = -2$ : calculer $u_{20}$. (b) $(u_n)$ arithmétique avec $u_3 = 11$ et $u_8 = 26$ : trouver $r$ et $u_0$. (c) $(v_n)$ géométrique, $v_0 = 3$, $q = 2$ : calculer $v_{10}$.

$u_0$ dans (b) :

(a) $u_{20} = 5 - 40 = -35$. (b) $u_8 - u_3 = 5r = 15$ donc $r = 3$, $u_0 = u_3 - 3r = 2$. (c) $v_{10} = 3 \times 2^{10} = 3\,072$.

Les suites suivantes sont-elles arithmétiques, géométriques, ni l'un ni l'autre ? $\;u_n = 4n + 7$ ; $\;v_n = 5 \times 2^{n+1}$ ; $\;w_n = n^2 + 1$ ; $\;t_n = \dfrac{3}{2^n}$.

$u$ : arithmétique de raison 4. $v_n = 10 \times 2^n$ : géométrique de raison 2. $w$ : ni l'un ni l'autre ($w_1 - w_0 = 1$, $w_2 - w_1 = 3$ ; $\frac{w_1}{w_0} = 2 \neq \frac{w_2}{w_1}$). $t_n = 3 \times \left(\frac12\right)^n$ : géométrique de raison $\frac12$.

Calculer $\;S_1 = 1 + 2 + \dots + 200$ ; $\;S_2 = 7 + 11 + 15 + \dots + 99$ ; $\;S_3 = 1 + 3 + 9 + \dots + 3^{8}$.

$S_1 = \frac{200 \times 201}{2} = 20\,100$. $\;S_2$ : raison 4, $99 = 7 + 4k$ donne $k = 23$, soit 24 termes : $S_2 = 24 \times \frac{7 + 99}{2} = 1\,272$. $\;S_3 = \frac{3^9 - 1}{3 - 1} = 9\,841$.

Léa dépose 100 € le premier mois sur un compte, puis chaque mois 10 € de plus que le mois précédent. Tom dépose 100 € le premier mois, puis chaque mois 5 % de plus.

  1. Montants déposés le 12e mois par chacun ?
  2. Sommes totales déposées au bout de 12 mois ?
  1. Léa : $100 + 11 \times 10 = 210$ €. Tom : $100 \times 1{,}05^{11} \approx 171{,}03$ €.
  2. Léa : $12 \times \frac{100 + 210}{2} = 1\,860$ €. Tom : $100 \times \frac{1 - 1{,}05^{12}}{1 - 1{,}05} \approx 1\,591{,}71$ €.

Soit $u_0 = 2$ et $u_{n+1} = 0{,}5u_n + 3$. On pose $v_n = u_n - 6$.

  1. Montrer que $(v_n)$ est géométrique.
  2. En déduire $u_n$ en fonction de $n$, puis la limite de $(u_n)$.
  1. $v_{n+1} = u_{n+1} - 6 = 0{,}5u_n - 3 = 0{,}5(u_n - 6) = 0{,}5v_n$ : géométrique de raison $0{,}5$ et $v_0 = -4$.
  2. $v_n = -4 \times 0{,}5^n$ donc $u_n = 6 - 4 \times 0{,}5^n$. Comme $0{,}5^n$ tend vers 0, $(u_n)$ tend vers 6.

Une ville compte 20 000 habitants en 2026 et perd 2 % de sa population chaque année. Écrire un programme Python déterminant l'année où la population passera sous 15 000 habitants.

p, annee = 20000, 2026
while p >= 15000:
    p = p * 0.98
    annee = annee + 1
print(annee)   # 2041

$20\,000 \times 0{,}98^{15} \approx 14\,771$, alors que $20\,000 \times 0{,}98^{14} \approx 15\,073$.

On part d'un triangle équilatéral de périmètre 3. À chaque étape, chaque segment est remplacé par 4 segments de longueur un tiers. On note $p_n$ le périmètre après $n$ étapes.

  1. Montrer que $(p_n)$ est géométrique.
  2. Que devient le périmètre quand $n$ augmente ?
  1. Le nombre de segments est multiplié par 4 et leur longueur par $\frac13$ : $p_{n+1} = \frac43 p_n$. Géométrique de raison $\frac43$, $p_n = 3 \times \left(\frac43\right)^n$.
  2. $\frac43 > 1$ : le périmètre tend vers $+\infty$, alors que la figure reste dans un disque borné !

Vérifier que $(k + 1)^3 - k^3 = 3k^2 + 3k + 1$. En sommant ces égalités pour $k$ de 1 à $n$, démontrer que $1^2 + 2^2 + \dots + n^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.

La somme des membres de gauche se télescope : $(n + 1)^3 - 1$. À droite : $3S + 3\frac{n(n+1)}{2} + n$ avec $S = \sum k^2$. Donc $3S = (n+1)^3 - 1 - \frac{3n(n+1)}{2} - n = \frac{(n+1)(2(n+1)^2 - 3n - 2)}{2} = \frac{(n+1)(2n^2 + n)}{2}$, d'où $S = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.