Second degré

Les fonctions $x \mapsto ax^2 + bx + c$ sont partout : trajectoires, aires, bénéfices… Trois écritures (développée, canonique, factorisée) donnent chacune des informations différentes.

  • Passer d'une forme à l'autre
  • Résoudre une équation du second degré
  • Factoriser avec plusieurs stratégies
  • Étudier le signe d'un trinôme

Cours

1. Fonctions polynômes du second degré

Une fonction polynôme du second degré (ou trinôme) est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = ax^2 + bx + c$, avec $a$, $b$, $c$ réels et $a \neq 0$. C'est la forme développée.

Sa courbe est une parabole, tournée vers le haut si $a > 0$, vers le bas si $a < 0$.

Tout trinôme s'écrit $f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta$ avec $\alpha = -\dfrac{b}{2a}$ et $\beta = f(\alpha)$. Le point $S(\alpha\,;\,\beta)$ est le sommet de la parabole ; la droite $x = \alpha$ est son axe de symétrie.

  • Si $a > 0$, $f$ est décroissante sur $]-\infty\,;\,\alpha]$, croissante sur $[\alpha\,;\,+\infty[$, et $\beta$ est son minimum.
  • Si $a < 0$, c'est l'inverse et $\beta$ est son maximum.

On utilise $x^2 + 2kx = (x + k)^2 - k^2$.

$f(x) = 2x^2 - 12x + 10 = 2(x^2 - 6x) + 10 = 2\big[(x - 3)^2 - 9\big] + 10 = 2(x - 3)^2 - 8$. Sommet $(3\,;\,-8)$.

2. Équation du second degré

On appelle discriminant du trinôme le nombre $\Delta = b^2 - 4ac$. Une racine est une solution de $ax^2 + bx + c = 0$.

Soit $a \neq 0$ et $\Delta = b^2 - 4ac$. L'équation $ax^2 + bx + c = 0$ :

  • si $\Delta > 0$, a deux solutions $x_1 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$ ;
  • si $\Delta = 0$, a une unique solution $x_0 = -\dfrac{b}{2a}$ ;
  • si $\Delta < 0$, n'a pas de solution réelle.

Étape 1 : forme canonique. Comme $a \neq 0$, on factorise par $a$ puis on complète le carré :

$$ax^2 + bx + c = a\left[x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}\right] = a\left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a^2} + \frac{c}{a}\right] = a\left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}\right].$$

Donc $ax^2 + bx + c = a\left[\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 - \dfrac{\Delta}{4a^2}\right]$.

Étape 2 : discussion. Comme $a \neq 0$, l'équation équivaut à $\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 = \dfrac{\Delta}{4a^2}$.

  • Si $\Delta < 0$ : le membre de droite est strictement négatif, alors qu'un carré est positif : aucune solution.
  • Si $\Delta = 0$ : $\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = 0 \iff x = -\frac{b}{2a}$.
  • Si $\Delta > 0$ : $\dfrac{\Delta}{4a^2} = \left(\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)^2$, donc $x + \dfrac{b}{2a} = \dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}$ ou $x + \dfrac{b}{2a} = -\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}$, ce qui donne $x_2$ et $x_1$. $\blacksquare$

$2x^2 - 3x - 2 = 0$ : $\Delta = 9 + 16 = 25$, $x_1 = \frac{3 - 5}{4} = -\frac12$, $x_2 = \frac{3 + 5}{4} = 2$.

$x^2 - 6x + 9 = 0$ : $\Delta = 0$, $x_0 = 3$ (c'est $(x - 3)^2$). $\quad x^2 + x + 1 = 0$ : $\Delta = -3 < 0$, pas de solution.

3. Factorisation, somme et produit des racines

  • Si $\Delta > 0$ : $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$.
  • Si $\Delta = 0$ : $ax^2 + bx + c = a(x - x_0)^2$.
  • Si $\Delta < 0$ : pas de factorisation en produit de facteurs du premier degré.

Si le trinôme a deux racines $x_1$ et $x_2$ (éventuellement égales), alors $\;x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}\;$ et $\;x_1 x_2 = \dfrac{c}{a}$.

On développe la forme factorisée : $a(x - x_1)(x - x_2) = ax^2 - a(x_1 + x_2)x + ax_1x_2$. En identifiant avec $ax^2 + bx + c$ : $b = -a(x_1 + x_2)$ et $c = a x_1 x_2$. $\blacksquare$

  • Facteur commun ou identité remarquable : $3x^2 - 12x = 3x(x - 4)$ ; $\;x^2 - 10x + 25 = (x - 5)^2$.
  • Racine évidente : $x^2 + 4x - 5$ s'annule en $x = 1$ ; le produit des racines vaut $-5$, donc l'autre est $-5$ : $(x - 1)(x + 5)$.
  • Somme et produit : pour $x^2 - 7x + 12$, on cherche deux nombres de somme 7 et de produit 12 : 3 et 4. Donc $(x - 3)(x - 4)$.
  • Formules générales avec $\Delta$ en dernier recours.

4. Signe d'un trinôme

  • Si $\Delta > 0$ : le trinôme est du signe de $a$ à l'extérieur des racines et du signe contraire entre les racines.
  • Si $\Delta = 0$ : il est du signe de $a$ partout et s'annule en $x_0$.
  • Si $\Delta < 0$ : il est du signe de $a$ sur tout $\mathbb{R}$ (il ne s'annule pas).

Résoudre $-x^2 + x + 6 \geqslant 0$. Racines : $-2$ et $3$ ($\Delta = 25$). $a = -1 < 0$ : le trinôme est positif entre les racines. $S = [-2\,;\,3]$.

Les Babyloniens résolvaient déjà des problèmes du second degré il y a 4 000 ans. Diophante (IIIe siècle) introduit des abréviations ; au IXe siècle, Al-Khwârizmî donne des méthodes géométriques (« compléter le carré » au sens propre !) ; Viète puis Descartes fixent les notations jusqu'aux formules actuelles.

Deux nombres de somme $s$ et de produit $p$ sont les racines de $x^2 - sx + p$. On a aussi $x^n - 1 = (x - 1)(x^{n-1} + \dots + x + 1)$ et $x^n - a^n$ est divisible par $x - a$.

Mini-jeux

Exercices

Résoudre dans $\mathbb{R}$ : $\;(a)\; x^2 - 5x + 6 = 0$ ; $\;(b)\; 2x^2 + 3x - 5 = 0$ ; $\;(c)\; 4x^2 - 4x + 1 = 0$ ; $\;(d)\; x^2 + 2x + 5 = 0$.

(a) $\{2\,;\,3\}$. (b) $\Delta = 49$ : $\{-\frac52\,;\,1\}$. (c) $\Delta = 0$ : $\{\frac12\}$. (d) $\Delta = -16$ : $\varnothing$.

Écrire sous forme canonique $f(x) = x^2 + 6x + 1$ et $g(x) = -3x^2 + 12x - 7$. En déduire leurs extremums.

Minimum de $f$ :

$f(x) = (x + 3)^2 - 8$ : minimum $-8$ en $-3$. $\;g(x) = -3(x - 2)^2 + 5$ : maximum 5 en 2.

Résoudre $\;x^2 - x - 12 < 0\;$ et $\;-2x^2 + 3x - 4 < 0$.

Racines $-3$ et $4$, $a > 0$ : négatif entre les racines, $S = ]-3\,;\,4[$. Second : $\Delta = -23 < 0$ et $a < 0$ : toujours strictement négatif, $S = \mathbb{R}$.

Factoriser sans calculer de discriminant : $x^2 - 9x + 20$ ; $\;x^2 + x - 2$ ; $\;3x^2 - 7x + 4$ (racine évidente 1).

$(x - 4)(x - 5)$ (somme 9, produit 20). $\;(x - 1)(x + 2)$ (1 est racine, produit $-2$). $\;3x^2 - 7x + 4$ : racines 1 et $\frac43$ (produit $\frac43$) : $3(x - 1)(x - \frac43) = (x - 1)(3x - 4)$.

Résoudre $\;\dfrac{2}{x} = x - 1\;$ (pour $x \neq 0$) puis $\;x^4 - 5x^2 + 4 = 0\;$ (poser $X = x^2$).

$2 = x^2 - x \iff x^2 - x - 2 = 0$ : $x = -1$ ou $x = 2$. $\;X^2 - 5X + 4 = 0$ : $X = 1$ ou $X = 4$, donc $x \in \{-2\,;\,-1\,;\,1\,;\,2\}$.

Un fabricant vend $x$ centaines d'objets ($0 \leqslant x \leqslant 10$) avec un bénéfice $B(x) = -2x^2 + 16x - 14$ (en milliers d'euros).

  1. Pour quelles quantités l'entreprise est-elle rentable ($B(x) \geqslant 0$) ?
  2. Quel est le bénéfice maximal ?
  1. $B(x) = -2(x^2 - 8x + 7) = -2(x - 1)(x - 7)$ : positif entre 1 et 7, soit entre 100 et 700 objets.
  2. $\alpha = 4$, $B(4) = 18$ : 18 000 € pour 400 objets.

Pour quelles valeurs de $m$ l'équation $x^2 + mx + 4 = 0$ a-t-elle une seule solution ? deux solutions ?

$\Delta = m^2 - 16$. Une solution si $m = 4$ ou $m = -4$ ; deux solutions si $m < -4$ ou $m > 4$.

Trouver deux nombres dont la somme vaut 10 et le produit 21. Existe-t-il deux réels de somme 4 et de produit 5 ?

Ce sont les racines de $x^2 - 10x + 21 = (x - 3)(x - 7)$ : 3 et 7. Pour somme 4 et produit 5 : $x^2 - 4x + 5$ a $\Delta = -4 < 0$ : aucun couple de réels.

Soit $\mathcal{P} : y = x^2$ et $d_m : y = mx - 1$. Pour quelles valeurs de $m$ la droite coupe-t-elle la parabole en deux points ? Pour quelle valeur est-elle tangente ?

$x^2 - mx + 1 = 0$ : $\Delta = m^2 - 4$. Deux points si $|m| > 2$ ; tangente si $m = \pm 2$ (point de contact $x = \pm 1$).