Probabilités conditionnelles et indépendance

On approfondit les arbres pondérés vus en seconde : formule des probabilités totales, indépendance de deux événements, et répétition d'épreuves identiques et indépendantes.

  • Utiliser la formule des probabilités totales
  • Reconnaître deux événements indépendants
  • Modéliser une succession d'épreuves indépendantes
  • Répéter une épreuve de Bernoulli

Cours

1. Rappels

Si $P(A) \neq 0$ : $\quad P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}\quad$ et donc $\quad P(A \cap B) = P(A)\,P_A(B)$.

  1. Somme des branches issues d'un nœud : 1.
  2. Probabilité d'un chemin : produit des probabilités de ses branches.
  3. Probabilité d'un événement : somme des probabilités des chemins qui y mènent.

Bien distinguer $P(A \cap B)$ (A et B se réalisent), $P_A(B)$ (B sachant A) et $P_B(A)$ (A sachant B).

2. Formule des probabilités totales

Des événements $A_1, A_2, \dots, A_n$ de probabilités non nulles forment une partition de l'univers $\Omega$ s'ils sont deux à deux incompatibles (disjoints) et si leur réunion est $\Omega$. Exemple le plus courant : $A$ et $\bar A$.

Si $A_1, \dots, A_n$ forment une partition de $\Omega$, alors pour tout événement $B$ : $$P(B) = P(A_1 \cap B) + \dots + P(A_n \cap B) = P(A_1)P_{A_1}(B) + \dots + P(A_n)P_{A_n}(B).$$

Avec $A$ et $\bar A$ : $\;P(B) = P(A)P_A(B) + P(\bar A)P_{\bar A}(B)$.

Trois usines fournissent 50 %, 30 % et 20 % des pièces, avec des taux de défaut de 1 %, 2 % et 5 %. $P(D) = 0{,}5\times0{,}01 + 0{,}3\times0{,}02 + 0{,}2\times0{,}05 = 0{,}021$.

3. Indépendance

Deux événements $A$ et $B$ sont indépendants si $\;P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$.

Si $P(A) \neq 0$, cela équivaut à $P_A(B) = P(B)$ : savoir que $A$ est réalisé ne change pas la probabilité de $B$.

On tire une carte dans un jeu de 32. $R$ = « roi », $C$ = « cœur ». $P(R) = \frac{4}{32} = \frac18$, $P(C) = \frac{8}{32} = \frac14$ et $P(R \cap C) = \frac{1}{32}$ (le roi de cœur). Comme $P(R)P(C) = \frac18 \times \frac14 = \frac{1}{32}$, les événements sont indépendants.

Si $A$ et $B$ sont indépendants, alors $A$ et $\bar B$ sont indépendants.

$A$ est la réunion disjointe de $A \cap B$ et $A \cap \bar B$, donc $P(A \cap \bar B) = P(A) - P(A \cap B) = P(A) - P(A)P(B) = P(A)\big(1 - P(B)\big) = P(A)P(\bar B)$. $\blacksquare$

Ne pas confondre indépendants et incompatibles ($A \cap B = \varnothing$). Deux événements incompatibles de probabilités non nulles ne sont jamais indépendants : $P(A \cap B) = 0 \neq P(A)P(B)$.

4. Succession d'épreuves indépendantes

Lorsque deux épreuves successives sont indépendantes (le résultat de la première n'influence pas la seconde), la probabilité d'un couple de résultats $(x\,;\,y)$ est le produit $P(x) \times P(y)$. On représente la situation par un arbre (dont les branches du 2e niveau sont les mêmes partout) ou par un tableau à double entrée.

Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire à deux issues : succès (probabilité $p$) et échec (probabilité $1 - p$).

On répète $n$ fois, de façon indépendante, la même épreuve de Bernoulli. Un chemin de l'arbre comportant $k$ succès et $n - k$ échecs a pour probabilité $p^k(1 - p)^{n-k}$.

Un tireur atteint la cible avec probabilité 0,7. Il tire 3 fois (tirs indépendants). Probabilité d'atteindre exactement 2 fois la cible : 3 chemins (SSE, SES, ESS), chacun de probabilité $0{,}7^2\times0{,}3$, soit $3 \times 0{,}147 = 0{,}441$. Probabilité d'au moins un succès : $1 - 0{,}3^3 = 0{,}973$.

5. Simulation

from random import random

def tirs(n, p):
    # renvoie le nombre de succès sur n épreuves de Bernoulli indépendantes
    s = 0
    for i in range(n):
        if random() < p:
            s = s + 1
    return s

N = 10000
c = 0
for j in range(N):
    if tirs(3, 0.7) == 2:
        c = c + 1
print("Fréquence de 'exactement 2 succès' :", c / N, "(théorie : 0.441)")

Méthodes à connaître

  1. Identifie les étapes de l'expérience et les événements de chaque étape.
  2. Place les probabilités de la 1re étape, puis les probabilités conditionnelles sur les branches suivantes ; la somme des branches issues d'un nœud vaut 1.
  3. Probabilité d'un chemin : produit des probabilités le long du chemin.
  4. Probabilité d'un événement : somme des chemins qui y mènent (formule des probabilités totales).

Exemple. $P(A) = 0{,}3$, $P_A(B) = 0{,}6$, $P_{\bar A}(B) = 0{,}2$ : $P(B) = 0{,}3\times0{,}6 + 0{,}7\times0{,}2 = 0{,}32$.

  1. Calcule $P(A \cap B)$ (chemin de l'arbre) et $P(B)$ (probabilités totales).
  2. Applique $P_B(A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$.
  3. Interprète : ne confonds pas $P_B(A)$ et $P_A(B)$.

Exemple. Avec l'arbre précédent : $P_B(A) = \dfrac{0{,}18}{0{,}32} = 0{,}5625$.

  1. Calcule $P(A)$, $P(B)$ et $P(A \cap B)$.
  2. Compare $P(A \cap B)$ et $P(A)\times P(B)$ (ou $P_B(A)$ et $P(A)$).
  3. Égalité : indépendants. Attention : indépendants ne veut pas dire incompatibles !

Mini-jeux

Exercices

60 % des clients d'un magasin paient par carte. Parmi eux, 30 % achètent en promotion ; parmi les autres, 50 %. Probabilité qu'un client pris au hasard achète en promotion ?

$P =$

$0{,}6\times0{,}3 + 0{,}4\times0{,}5 = 0{,}18 + 0{,}2 = 0{,}38$.

On lance un dé équilibré. $A$ = « pair », $B$ = « multiple de 3 », $C$ = « supérieur ou égal à 4 ». $A$ et $B$ sont-ils indépendants ? $A$ et $C$ ?

$P(A) = \frac12$, $P(B) = \frac13$, $P(A\cap B) = P(\{6\}) = \frac16 = \frac12 \times \frac13$ : indépendants. $\;P(C) = \frac12$, $P(A \cap C) = P(\{4, 6\}) = \frac13 \neq \frac14$ : pas indépendants.

Un test détecte une maladie présente chez 5 % de la population. Il est positif pour 98 % des malades et pour 4 % des personnes saines. Calculer $P(T)$ puis $P_T(M)$.

$P(T) = 0{,}05\times0{,}98 + 0{,}95\times0{,}04 = 0{,}049 + 0{,}038 = 0{,}087$. $\;P_T(M) = \frac{0{,}049}{0{,}087} \approx 0{,}563$.

On lance une pièce équilibrée puis un dé équilibré. Représenter la situation par un tableau. Probabilité d'obtenir « Pile et un nombre premier » ?

12 issues équiprobables. $P = \frac12 \times \frac36 = \frac14$ (nombres premiers : 2, 3, 5).

Un QCM comporte 4 questions indépendantes, chacune ayant 3 réponses dont une seule juste. Un élève répond au hasard. Probabilité d'avoir tout juste ? Aucune bonne réponse ? Au moins une ?

$\left(\frac13\right)^4 = \frac{1}{81}$ ; $\left(\frac23\right)^4 = \frac{16}{81}$ ; $1 - \frac{16}{81} = \frac{65}{81}$.

Une loterie gagne avec probabilité 0,1. Combien de tickets (indépendants) faut-il au minimum acheter pour avoir au moins une chance sur deux de gagner au moins une fois ?

$1 - 0{,}9^n \geqslant 0{,}5 \iff 0{,}9^n \leqslant 0{,}5$. $0{,}9^6 \approx 0{,}531$, $0{,}9^7 \approx 0{,}478$ : il faut 7 tickets.

Dans un lycée, 40 % des élèves sont en seconde et 30 % font de l'escalade, ces deux caractères étant indépendants. Compléter le tableau des probabilités et calculer la probabilité qu'un élève ne soit pas en seconde et ne fasse pas d'escalade.

$P(S \cap E) = 0{,}12$, $P(S \cap \bar E) = 0{,}28$, $P(\bar S \cap E) = 0{,}18$, $P(\bar S \cap \bar E) = 0{,}6 \times 0{,}7 = 0{,}42$.