Géométrie repérée

Grâce au produit scalaire, l'orthogonalité se traduit par une équation. On obtient de nouvelles équations de droites (avec un vecteur normal) et les équations de cercles.

  • Utiliser un vecteur normal à une droite
  • Écrire l'équation d'un cercle
  • Reconnaître un cercle et trouver centre et rayon
  • Étudier une configuration avec un repère

Dans tout le chapitre, le plan est muni d'un repère orthonormé.

Cours

1. Vecteur normal à une droite

Un vecteur normal à une droite $d$ est un vecteur non nul orthogonal à un vecteur directeur de $d$.

  • Une droite de vecteur normal $\vec n(a\,;\,b)$ a une équation de la forme $ax + by + c = 0$.
  • Réciproquement, la droite d'équation $ax + by + c = 0$ admet $\vec n(a\,;\,b)$ comme vecteur normal (et $\vec u(-b\,;\,a)$ comme vecteur directeur).

La droite passant par $A(x_A\,;\,y_A)$ et de vecteur normal $\vec n(a\,;\,b)$ a pour équation $a(x - x_A) + b(y - y_A) = 0$.

$M(x\,;\,y) \in d \iff \overrightarrow{AM} \perp \vec n \iff \overrightarrow{AM}\cdot\vec n = 0$. Or $\overrightarrow{AM}(x - x_A\,;\,y - y_A)$, donc $\overrightarrow{AM}\cdot\vec n = a(x - x_A) + b(y - y_A)$. $\blacksquare$

$A(1\,;\,2)$, $B(3\,;\,-1)$, $C(5\,;\,4)$. La hauteur issue de $A$ est perpendiculaire à $(BC)$, donc de vecteur normal $\overrightarrow{BC}(2\,;\,5)$ : $2(x - 1) + 5(y - 2) = 0$, soit $2x + 5y - 12 = 0$.

Deux droites sont perpendiculaires si et seulement si leurs vecteurs normaux (ou directeurs) sont orthogonaux. Pour des droites $y = mx + p$ et $y = m'x + p'$ : perpendiculaires $\iff mm' = -1$.

2. Équation de cercle

Le cercle de centre $\Omega(a\,;\,b)$ et de rayon $r$ a pour équation $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$.

$M(x\,;\,y) \in \mathcal{C} \iff \Omega M = r \iff \Omega M^2 = r^2$ (les deux membres sont positifs), et $\Omega M^2 = (x - a)^2 + (y - b)^2$ dans un repère orthonormé. $\blacksquare$

C'est l'ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB} = 0$ (voir le chapitre « Produit scalaire »). Avec $A(x_A\,;\,y_A)$ et $B(x_B\,;\,y_B)$ : $(x - x_A)(x - x_B) + (y - y_A)(y - y_B) = 0$.

$x^2 + y^2 - 6x + 4y - 3 = 0$. On complète les carrés : $(x - 3)^2 - 9 + (y + 2)^2 - 4 - 3 = 0$, soit $(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 16$. C'est le cercle de centre $(3\,;\,-2)$ et de rayon 4.

Si on obtient $(x - a)^2 + (y - b)^2 = k$ avec $k < 0$, l'ensemble est vide ; avec $k = 0$, c'est le seul point $(a\,;\,b)$.

3. Intersections

Intersection de $\mathcal{C} : x^2 + y^2 = 25$ et $d : y = x + 1$. On substitue : $x^2 + (x + 1)^2 = 25 \iff 2x^2 + 2x - 24 = 0 \iff x^2 + x - 12 = 0$, donc $x = 3$ ou $x = -4$. Points $(3\,;\,4)$ et $(-4\,;\,-3)$.

Une parabole $y = ax^2 + bx + c$ et une droite non verticale $y = mx + p$ ont 0, 1 ou 2 points communs : on résout $ax^2 + bx + c = mx + p$, une équation du second degré. La distance d'un point $M_0(x_0\,;\,y_0)$ à la droite $ax + by + c = 0$ vaut $\dfrac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$.

Mini-jeux

Exercices

Déterminer une équation de la droite passant par $A(-2\,;\,3)$ et de vecteur normal $\vec n(4\,;\,-1)$.

$4(x + 2) - (y - 3) = 0 \iff 4x - y + 11 = 0$.

Écrire l'équation du cercle de centre $\Omega(2\,;\,-1)$ passant par $A(5\,;\,3)$.

$r^2 = \Omega A^2 = 9 + 16 = 25$ : $(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 25$.

Les équations suivantes définissent-elles des cercles ? $\;(a)\; x^2 + y^2 + 4x - 2y + 1 = 0$ ; $\;(b)\; x^2 + y^2 - 2x + 6 = 0$.

Rayon du cercle (a) :

(a) $(x + 2)^2 + (y - 1)^2 = 4$ : cercle de centre $(-2\,;\,1)$, rayon 2. (b) $(x - 1)^2 + y^2 = -5$ : ensemble vide.

$A(1\,;\,-1)$ et $B(5\,;\,3)$. Déterminer une équation de la médiatrice de $[AB]$.

Elle passe par le milieu $I(3\,;\,1)$ et a pour vecteur normal $\overrightarrow{AB}(4\,;\,4)$, ou plus simplement $(1\,;\,1)$ : $(x - 3) + (y - 1) = 0 \iff x + y - 4 = 0$.

Le point $T(4\,;\,3)$ est sur le cercle $x^2 + y^2 = 25$. Déterminer la tangente en $T$ (perpendiculaire au rayon $[OT]$).

Vecteur normal $\overrightarrow{OT}(4\,;\,3)$ : $4(x - 4) + 3(y - 3) = 0 \iff 4x + 3y - 25 = 0$.

Déterminer le centre et le rayon du cercle passant par $A(0\,;\,0)$, $B(6\,;\,0)$ et $C(0\,;\,4)$.

Le triangle est rectangle en $A$, donc le cercle circonscrit a pour diamètre l'hypoténuse $[BC]$ : centre $(3\,;\,2)$, rayon $\frac{BC}{2} = \frac{\sqrt{52}}{2} = \sqrt{13}$.

Calculer la distance du point $M(2\,;\,5)$ à la droite $d : 3x - 4y + 4 = 0$, en déterminant le projeté orthogonal $H$ de $M$ sur $d$.

$H = M + t(3\,;\,-4)$ (direction normale) avec $3(2 + 3t) - 4(5 - 4t) + 4 = 0 \iff 25t - 10 = 0 \iff t = 0{,}4$. $H(3{,}2\,;\,3{,}4)$ et $MH = 0{,}4 \times 5 = 2$. (Formule : $\frac{|6 - 20 + 4|}{5} = 2$.)