Fonction exponentielle

La seule fonction égale à sa propre dérivée et qui vaut 1 en 0. Elle transforme les sommes en produits et modélise toutes les croissances (ou décroissances) « proportionnelles à la quantité présente ».

  • Connaître la définition et les propriétés algébriques
  • Utiliser le nombre $e$ et la notation $e^x$
  • Connaître signe, variations et courbe
  • Dériver et étudier $t \mapsto e^{kt}$

Cours

1. Définition

Il existe une unique fonction $f$ dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que $f' = f$ et $f(0) = 1$. On l'appelle fonction exponentielle et on la note $\exp$.

Ainsi : $\exp(0) = 1$ et, pour tout réel $x$, $\exp'(x) = \exp(x)$.

Pour tout réel $x$ : $\exp(x) \times \exp(-x) = 1$. En particulier, $\exp(x) \neq 0$ et $\exp(-x) = \dfrac{1}{\exp(x)}$.

Posons $g(x) = \exp(x)\exp(-x)$. Par la règle du produit (et $(\exp(-x))' = -\exp(-x)$) : $$g'(x) = \exp(x)\exp(-x) + \exp(x)\times(-\exp(-x)) = 0.$$

$g$ est donc constante sur $\mathbb{R}$, égale à $g(0) = \exp(0)^2 = 1$. Si $\exp(x)$ était nul, le produit le serait aussi : impossible. $\blacksquare$

Si $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ avec $f' = f$ et $f(0) = 1$, alors $f = \exp$.

Comme $\exp$ ne s'annule pas, on peut poser $h(x) = \dfrac{f(x)}{\exp(x)}$. Alors $h'(x) = \dfrac{f'(x)\exp(x) - f(x)\exp(x)}{\exp(x)^2} = 0$ car $f' = f$.

$h$ est constante, égale à $h(0) = \frac{1}{1} = 1$. Donc $f(x) = \exp(x)$ pour tout $x$. $\blacksquare$

2. Propriétés algébriques

Pour tous réels $x$ et $y$ : $\exp(x + y) = \exp(x)\exp(y)$.

Fixons $y$ et posons $k(x) = \dfrac{\exp(x + y)}{\exp(x)}$ (bien défini car $\exp(x) \neq 0$).

$k'(x) = \dfrac{\exp(x + y)\exp(x) - \exp(x + y)\exp(x)}{\exp(x)^2} = 0$ (la dérivée de $x \mapsto \exp(x + y)$ est $\exp(x + y)$).

Donc $k$ est constante : $k(x) = k(0) = \exp(y)$, c'est-à-dire $\exp(x + y) = \exp(x)\exp(y)$. $\blacksquare$

Pour tous réels $x$, $y$ et tout entier relatif $n$ :

$$\exp(-x) = \frac{1}{\exp(x)} \qquad \exp(x - y) = \frac{\exp(x)}{\exp(y)} \qquad \exp(nx) = \big(\exp(x)\big)^n$$

On note $e = \exp(1) \approx 2{,}718\,28$. D'après la propriété précédente, $\exp(n) = e^n$ pour tout entier $n$ ; on étend cette notation : pour tout réel $x$, $\exp(x) = e^x$.

Les règles de calcul sont alors celles des puissances : $e^{x + y} = e^x e^y$, $\;e^{-x} = \dfrac{1}{e^x}$, $\;e^{x - y} = \dfrac{e^x}{e^y}$, $\;(e^x)^n = e^{nx}$, $\;e^0 = 1$.

$\dfrac{e^{3x} \times e^{-x}}{e^{x+1}} = e^{3x - x - x - 1} = e^{x - 1}$ ; $\quad (e^{2x})^3 \times e^{-5x} = e^{x}$.

3. Étude de la fonction exponentielle

  • Pour tout réel $x$ : $e^x > 0$ (car $e^x = \left(e^{x/2}\right)^2$ et $e^x \neq 0$).
  • $\exp' = \exp > 0$, donc la fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
(0 ; 1) y = eˣ y = x + 1
La courbe passe par $(0\,;\,1)$ avec une tangente d'équation $y = x + 1$, et reste au-dessus de l'axe des abscisses.

La fonction exponentielle étant strictement croissante : $\;e^a = e^b \iff a = b\;$ et $\;e^a < e^b \iff a < b$.

Exemple : $e^{2x - 1} \geqslant e^{x + 3} \iff 2x - 1 \geqslant x + 3 \iff x \geqslant 4$.

4. Fonctions t ↦ e^(kt)

Pour tous réels $a$ et $b$, la fonction $x \mapsto e^{ax + b}$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et sa dérivée est $x \mapsto a\,e^{ax + b}$.

Si $k > 0$, $t \mapsto e^{kt}$ est strictement croissante ; si $k < 0$, elle est strictement décroissante. Ces fonctions modélisent une croissance ou une décroissance « exponentielle » : la vitesse de variation est proportionnelle à la quantité ($f' = kf$).

Le nombre de noyaux d'un échantillon radioactif vérifie $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ ($\lambda > 0$). Pour le carbone 14, $\lambda \approx 1{,}21 \times 10^{-4}$ par an.

Pour tout réel $a$, la suite $u_n = e^{na}$ est géométrique de raison $e^a$ : $u_{n+1} = e^{(n+1)a} = e^a \times e^{na}$. La fonction exponentielle est la version « continue » des suites géométriques.

Le nombre $e$ apparaît au XVIIe siècle avec les intérêts composés : Jacques Bernoulli étudie $\left(1 + \frac1n\right)^n$, qui tend vers $e$. Euler lui donne son nom et sa notation vers 1730, puis en calcule 23 décimales (1748).

Méthodes à connaître

  1. Transforme les produits et quotients avec $\mathrm{e}^a\mathrm{e}^b = \mathrm{e}^{a+b}$, $\dfrac{\mathrm{e}^a}{\mathrm{e}^b} = \mathrm{e}^{a-b}$ et $(\mathrm{e}^a)^n = \mathrm{e}^{na}$.
  2. Regroupe les exposants et réduis.
  3. Pour factoriser, mets en facteur l'exponentielle de plus petit exposant.

Exemple. $\dfrac{\mathrm{e}^{3x}\times\mathrm{e}^{-x}}{\mathrm{e}^{x+1}} = \mathrm{e}^{3x - x - (x + 1)} = \mathrm{e}^{x - 1}$ ; $\;\mathrm{e}^{2x} - \mathrm{e}^{x} = \mathrm{e}^x(\mathrm{e}^x - 1)$.

  1. Écris chaque membre sous la forme $\mathrm{e}^{\dots}$ (ou pose $X = \mathrm{e}^x$ si l'équation est du second degré en $\mathrm{e}^x$).
  2. Utilise $\mathrm{e}^a = \mathrm{e}^b \iff a = b$ et $\mathrm{e}^a < \mathrm{e}^b \iff a < b$ (stricte croissance).
  3. Résous l'équation ou l'inéquation obtenue sur les exposants.

Exemple. $\mathrm{e}^{2x - 1} \geqslant \mathrm{e}^{x + 3} \iff 2x - 1 \geqslant x + 3 \iff x \geqslant 4$.

  1. Dérive : $(\mathrm{e}^{ax+b})' = a\,\mathrm{e}^{ax+b}$, et la formule du produit si besoin.
  2. Factorise $f'(x)$ par l'exponentielle : comme $\mathrm{e}^{\dots} > 0$, le signe de $f'$ est celui de l'autre facteur.
  3. Dresse le tableau de signes de ce facteur, puis le tableau de variations.

Exemple. $f(x) = (x - 2)\mathrm{e}^x$ : $f'(x) = \mathrm{e}^x + (x - 2)\mathrm{e}^x = (x - 1)\mathrm{e}^x$, du signe de $x - 1$ : minimum en $x = 1$, $f(1) = -\mathrm{e}$.

Mini-jeux

Exercices

Écrire sous la forme $e^{\dots}$ : $\;A = e^3 \times e^{-5}$ ; $\;B = \dfrac{e^{2x+1}}{e^{x-1}}$ ; $\;C = (e^{-x})^2 \times e^{3x}$ ; $\;D = \dfrac{1}{e^{-4}}$.

$A = e^{-2}$ ; $B = e^{x + 2}$ ; $C = e^{x}$ ; $D = e^4$.

Résoudre : $\;e^{3x - 2} = 1$ ; $\;e^{x^2} = e^{4}$ ; $\;e^{2x} < e^{x + 5}$ ; $\;e^{x}(e^{x} - 1) = 0$.

$3x - 2 = 0$ : $x = \frac23$. $\;x^2 = 4$ : $x = \pm 2$. $\;2x < x + 5$ : $x < 5$. $\;e^x \neq 0$ donc $e^x = 1$ : $x = 0$.

Dériver : $f_1(x) = 3e^x - x^2$ ; $\;f_2(x) = e^{-2x + 1}$ ; $\;f_3(x) = xe^x$ ; $\;f_4(x) = \dfrac{e^x}{x}$ ($x \neq 0$).

$3e^x - 2x$ ; $\;-2e^{-2x + 1}$ ; $\;(x + 1)e^x$ ; $\;\frac{(x - 1)e^x}{x^2}$.

Soit $f(x) = (x - 2)e^x$. Calculer $f'(x)$, dresser le tableau de variations et donner le minimum de $f$.

Abscisse du minimum :

$f'(x) = e^x + (x - 2)e^x = (x - 1)e^x$, du signe de $x - 1$. Minimum $f(1) = -e$.

La température d'un café est $T(t) = 20 + 60e^{-0{,}1t}$ ($t$ en minutes). Calculer $T(0)$, étudier le sens de variation de $T$, et déterminer (à la calculatrice) au bout de combien de minutes le café descend sous 50 °C.

$T(0) = 80$ °C. $T'(t) = -6e^{-0{,}1t} < 0$ : décroissante. $T(t) < 50 \iff e^{-0{,}1t} < 0{,}5$ ; la calculatrice donne $t \approx 6{,}93$ : dès la 7e minute.

Résoudre $e^{2x} - 3e^x + 2 = 0$ (poser $X = e^x$).

$X^2 - 3X + 2 = 0$ : $X = 1$ ou $X = 2$. $e^x = 1$ donne $x = 0$ ; $e^x = 2$ a une unique solution (notée $\ln 2$ en Terminale, environ 0,693).

Démontrer que pour tout réel $x$ : $e^x \geqslant 1 + x$. Interpréter graphiquement.

$g(x) = e^x - 1 - x$ : $g'(x) = e^x - 1$, négatif pour $x < 0$, positif pour $x > 0$. Minimum $g(0) = 0$, donc $g \geqslant 0$. La courbe de l'exponentielle est au-dessus de sa tangente en 0.