Passerelle Terminale → supérieur

• Le rythme : un chapitre de Terminale peut être traité en une semaine. Le cours s'apprend chaque soir.
• La rigueur : chaque affirmation se justifie ; les définitions et théorèmes s'apprennent mot à mot, avec leurs hypothèses.
• Les démonstrations : elles font partie du cours et des examens (en prépa, on les présente à l'oral en « colle »).
• L'autonomie : personne ne vérifie tes devoirs ; à toi de refaire les exercices sans la correction.

• Quantificateurs : « $\forall x \in \mathbb{R}$ » (pour tout), « $\exists x \in \mathbb{R}$ » (il existe). Négation : on échange $\forall$ et $\exists$ et on nie la propriété. La négation de « $\forall x,\ f(x) > 0$ » est « $\exists x,\ f(x) \leqslant 0$ ».
• Implication $P \Rightarrow Q$ ; sa contraposée $\text{non }Q \Rightarrow \text{non }P$ lui est équivalente ; sa réciproque $Q \Rightarrow P$ ne l'est pas.
• Condition nécessaire / suffisante : si $P \Rightarrow Q$, $P$ est une condition suffisante pour $Q$ et $Q$ une condition nécessaire pour $P$.
• Raisonnements : direct, par contraposée, par l'absurde, par disjonction de cas, par récurrence, par contre-exemple (pour montrer qu'une affirmation universelle est fausse), par analyse-synthèse.

• Fractions, puissances, racines, identités remarquables : aucune hésitation n'est permise.
• Inégalités : multiplier par un nombre négatif change le sens ; on ne peut passer à l'inverse ($a \leqslant b \Rightarrow \frac1a \geqslant \frac1b$) que si $a$ et $b$ sont de même signe (non nuls) ; on ne divise jamais deux inégalités membre à membre.
• Valeur absolue : $|x - a| \leqslant r \iff a - r \leqslant x \leqslant a + r$ ; inégalité triangulaire $|x + y| \leqslant |x| + |y|$.
• Toujours vérifier un résultat : ordre de grandeur, cas particulier ($x = 0$, $x = 1$), homogénéité.

• $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} a_k = a_1 + a_2 + \dots + a_n$ ; l'indice $k$ est muet ; linéarité : $\sum (\lambda a_k + b_k) = \lambda\sum a_k + \sum b_k$.
• $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ ; $\;\displaystyle\sum_{k=0}^{n} q^k = \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$ ($q \neq 1$) ; $\;\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.
• Somme télescopique : $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(u_{k+1} - u_k) = u_{n+1} - u_1$. Exemple : $\frac{1}{k(k+1)} = \frac1k - \frac{1}{k+1}$, donc $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)} = 1 - \frac{1}{n + 1}$.

• $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ ; valeurs en $0, \frac\pi6, \frac\pi4, \frac\pi3, \frac\pi2$ ; $\cos(-x) = \cos x$, $\sin(-x) = -\sin x$, $\cos(\pi - x) = -\cos x$…
• Formules d'addition : $\cos(a + b) = \cos a\cos b - \sin a\sin b$ ; $\sin(a + b) = \sin a\cos b + \cos a\sin b$ ; en particulier $\cos 2a = 2\cos^2 a - 1 = 1 - 2\sin^2 a$ et $\sin 2a = 2\sin a\cos a$.
• Dérivées : $\cos' = -\sin$, $\sin' = \cos$ ; $\tan = \frac{\sin}{\cos}$ et $\tan' = 1 + \tan^2 = \frac{1}{\cos^2}$.

• Dériver $u\circ v$, $u^n$, $\mathrm{e}^u$, $\ln u$, $\sqrt u$, $\frac uv$ sans erreur ; étudier une fonction de A à Z.
• Reconnaître une primitive : $u'u^n$, $\frac{u'}{u}$, $u'\mathrm{e}^u$, $\frac{u'}{\sqrt u}$.
• Intégration par parties : $\displaystyle\int_a^b u'v = \big[uv\big]_a^b - \int_a^b uv'$ ; par exemple $\displaystyle\int_1^{\mathrm{e}}\ln x\,\mathrm{d}x = \big[x\ln x\big]_1^{\mathrm{e}} - \int_1^{\mathrm{e}} 1\,\mathrm{d}x = \mathrm{e} - (\mathrm{e} - 1) = 1$.
• Équations différentielles $y' = ay + b$ ; limites et croissances comparées ; équivalents (dans le supérieur) : $\mathrm{e}^x - 1 \sim x$, $\ln(1 + x) \sim x$, $\sin x \sim x$ quand $x \to 0$.

Si tu n'as pas suivi l'option Maths expertes, c'est la notion à apprendre en priorité : $\mathrm{i}^2 = -1$, forme algébrique $a + \mathrm{i}b$, conjugué, module $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$, forme exponentielle $r\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}$, formules d'Euler et de Moivre, résolution de $az^2 + bz + c = 0$ quand $\Delta < 0$. Tout est dans la partie Maths expertes du site.

• $n!$, $\binom nk = \frac{n!}{k!(n-k)!}$, $n^k$ listes, $\frac{n!}{(n-k)!}$ arrangements ; formule du binôme $(a + b)^n = \sum\binom nk a^kb^{n-k}$.
• Probabilités conditionnelles, formule des probabilités totales, indépendance ; loi binomiale ; espérance et variance.