Passerelle 3e → 2de
La Seconde s'appuie sur tout ce que tu as appris au collège. Commence par le test diagnostic (15 minutes, sans calculatrice) : il te dit quelles fiches réviser en priorité. Chaque fiche contient l'essentiel à retenir, une méthode et un défi pour t'entraîner.
Le test diagnostic
Réponds aux 12 questions, puis valide : chaque correction indique la fiche à revoir si tu t'es trompé.
$\dfrac23 + \dfrac14$ est égal à :
$\frac{8}{12} + \frac{3}{12} = \frac{11}{12}$. Sinon : fiche 1.
$5 + 3\times4$ est égal à :
La multiplication est prioritaire. Sinon : fiche 1.
$10^3\times10^{-5}$ est égal à :
$10^{3 + (-5)}$. Sinon : fiche 2.
$\sqrt{36} + \sqrt{64}$ est égal à :
$6 + 8 = 14$ ; attention, $\sqrt{a} + \sqrt{b} \neq \sqrt{a + b}$. Sinon : fiche 2.
$3(x - 2) - (x + 4)$ est égal à :
$3x - 6 - x - 4$. Sinon : fiche 3.
$(x + 5)^2$ est égal à :
Identité remarquable $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Sinon : fiche 3.
La solution de $4x - 7 = x + 5$ est :
$3x = 12$. Sinon : fiche 4.
Un pull à 60 € est soldé à −30 %. Son nouveau prix est :
$60\times0{,}7 = 42$. Sinon : fiche 5.
Un triangle rectangle a des côtés de l'angle droit de 6 cm et 8 cm. Son hypoténuse mesure :
$\sqrt{36 + 64} = 10$. Sinon : fiche 6.
Pour $f(x) = 2x - 3$, l'image de $4$ est :
$f(4) = 8 - 3$. Sinon : fiche 7.
La moyenne de $12 ; 15 ; 9 ; 14$ est :
$\frac{50}{4} = 12{,}5$. Sinon : fiche 8.
On lance un dé équilibré. La probabilité d'obtenir un nombre pair est :
3 issues favorables sur 6. Sinon : fiche 8.
Fiche 1 · Nombres, priorités et fractions
- Priorités : parenthèses, puis puissances, puis multiplications et divisions, puis additions et soustractions (de gauche à droite).
- Additionner des fractions : même dénominateur d'abord. $\frac ab + \frac cd = \frac{ad + bc}{bd}$.
- Multiplier : $\frac ab\times\frac cd = \frac{ac}{bd}$ ; diviser, c'est multiplier par l'inverse : $\frac ab \div \frac cd = \frac ab\times\frac dc$.
- Simplifier : diviser numérateur et dénominateur par un même nombre (fraction irréductible quand ils n'ont plus de diviseur commun).
- Simplifie chaque fraction si possible.
- Pour une somme : cherche un dénominateur commun (le plus petit multiple commun) et transforme chaque fraction.
- Pour un produit : simplifie en croix avant de multiplier.
- Donne le résultat sous forme irréductible.
$\frac56 - \frac34 = \frac{10}{12} - \frac{9}{12} = \frac{1}{12}$ ; $\;\frac{4}{15}\times\frac{25}{8} = \frac{4\times25}{15\times8} = \frac{1\times5}{3\times2} = \frac56$.
Fiche 2 · Puissances et racines carrées
- $a^n = a\times a\times\dots\times a$ ($n$ facteurs) ; $a^0 = 1$ ; $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.
- $a^m\times a^n = a^{m + n}$ ; $\;\frac{a^m}{a^n} = a^{m - n}$ ; $\;(a^m)^n = a^{mn}$.
- Écriture scientifique : $a\times10^n$ avec $1 \leqslant a < 10$, par exemple $0{,}00052 = 5{,}2\times10^{-4}$.
- $\sqrt a$ (pour $a \geqslant 0$) est le nombre positif dont le carré vaut $a$ ; $\sqrt{ab} = \sqrt a\sqrt b$, mais $\sqrt{a + b} \neq \sqrt a + \sqrt b$.
Fiche 3 · Calcul littéral
- Développer : $k(a + b) = ka + kb$ ; $\;(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$.
- Identités remarquables : $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ ; $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ ; $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$.
- Factoriser : repérer un facteur commun, $ka + kb = k(a + b)$, ou une identité remarquable.
- Un signe « − » devant une parenthèse change tous les signes à l'intérieur.
- Cherche un facteur commun à tous les termes (nombre, lettre ou parenthèse).
- Sinon, reconnais une identité remarquable ($a^2 - b^2$ : différence de deux carrés).
- Vérifie en redéveloppant.
$(x + 1)(2x - 3) + (x + 1)(x + 5) = (x + 1)\big[(2x - 3) + (x + 5)\big] = (x + 1)(3x + 2)$ ; $\;9x^2 - 16 = (3x - 4)(3x + 4)$.
Fiche 4 · Équations
- On peut ajouter ou soustraire un même nombre aux deux membres, et multiplier ou diviser par un même nombre non nul.
- Produit nul : $A\times B = 0 \iff A = 0$ ou $B = 0$.
- Développe et réduis chaque membre.
- Regroupe les termes en $x$ d'un côté, les nombres de l'autre.
- Divise par le coefficient de $x$.
- Vérifie en remplaçant.
$5x - 3 = 2x + 9 \iff 3x = 12 \iff x = 4$. Vérification : $5\times4 - 3 = 17 = 2\times4 + 9$ ✓.
Fiche 5 · Proportionnalité et pourcentages
- Prendre $t$ % d'une quantité : multiplier par $\frac{t}{100}$.
- Augmenter de $t$ % : multiplier par $1 + \frac{t}{100}$ ; diminuer de $t$ % : multiplier par $1 - \frac{t}{100}$.
- Proportionnalité : tableau, produit en croix, coefficient ; vitesse $= \frac{\text{distance}}{\text{durée}}$.
- Conversions : 1 h = 60 min ; 1 m³ = 1 000 L ; 1 km/h ≈ 0,28 m/s.
Fiche 6 · Géométrie du collège
- Pythagore : si $ABC$ est rectangle en $A$, alors $BC^2 = AB^2 + AC^2$ ; la réciproque permet de prouver qu'un triangle est rectangle.
- Thalès : si $(MN) \parallel (BC)$ avec $M \in (AB)$, $N \in (AC)$, alors $\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}$.
- Trigonométrie dans un triangle rectangle : $\cos = \frac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}$, $\sin = \frac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}$, $\tan = \frac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}$.
- Aires : rectangle $L\times\ell$, triangle $\frac{b\times h}{2}$, disque $\pi r^2$ ; volumes : pavé $L\ell h$, cylindre $\pi r^2h$, cône et pyramide $\frac13\mathcal{B}h$.
- Repère l'angle droit et l'hypoténuse (le côté en face).
- Deux côtés connus : Pythagore. Un côté et un angle : trigonométrie (choisis la formule qui relie ce que tu connais à ce que tu cherches).
- Rédige : « Dans le triangle $ABC$ rectangle en $A$, d'après… ».
Fiche 7 · Fonctions
- Une fonction associe à chaque nombre $x$ un unique nombre $f(x)$, son image ; $x$ est un antécédent de $f(x)$.
- Fonction linéaire $f(x) = ax$ (proportionnalité, droite passant par l'origine) ; fonction affine $f(x) = ax + b$ (droite).
- Lecture graphique : l'image se lit sur l'axe des ordonnées, les antécédents sur l'axe des abscisses.
Fiche 8 · Statistiques et probabilités
- Moyenne : somme des valeurs divisée par l'effectif total (ou moyenne pondérée par les effectifs).
- Médiane : valeur qui partage la série rangée en deux groupes de même effectif ; étendue : plus grande valeur moins plus petite.
- Probabilité (issues équiprobables) : $\frac{\text{nombre d'issues favorables}}{\text{nombre total d'issues}}$ ; $P(\text{non }A) = 1 - P(A)$.
Et après ? Tu es prêt pour la Seconde. Le premier chapitre conseillé : nombres réels et intervalles. Pense aussi aux automatismes, à entretenir toute l'année.