Suites de matrices

Deux populations qui échangent des individus, des proies et des prédateurs, la suite de Fibonacci : quand plusieurs suites dépendent les unes des autres, on les range dans une matrice colonne. Leur évolution se calcule alors avec des puissances de matrices.

  • Traduire des suites couplées par une relation $U_{n+1} = AU_n + C$
  • Exprimer $U_n$ en fonction de $n$ avec $A^n$
  • Déterminer un état stable
  • Étudier une suite récurrente linéaire d'ordre 2

Cours

1. Suites couplées

Si deux suites $(x_n)$ et $(y_n)$ vérifient, pour tout $n$, $$\begin{cases} x_{n+1} = ax_n + by_n \\ y_{n+1} = cx_n + dy_n\end{cases}$$ alors la suite de matrices colonnes $U_n = \begin{pmatrix} x_n \\ y_n\end{pmatrix}$ vérifie $U_{n+1} = AU_n$ avec $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d\end{pmatrix}$.

Si $U_{n+1} = AU_n$ pour tout $n$, alors $U_n = A^nU_0$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.

Preuve par récurrence : $U_0 = I\,U_0 = A^0U_0$, et si $U_n = A^nU_0$, alors $U_{n+1} = AU_n = A \times A^nU_0 = A^{n+1}U_0$.

Chaque année, 10 % des habitants de la ville A partent s'installer en B, et 20 % de ceux de B partent en A. Avec $a_n$ et $b_n$ les populations l'année $n$ : $$\begin{cases} a_{n+1} = 0{,}9a_n + 0{,}2b_n \\ b_{n+1} = 0{,}1a_n + 0{,}8b_n\end{cases} \qquad\text{soit}\qquad U_{n+1} = \begin{pmatrix} 0{,}9 & 0{,}2 \\ 0{,}1 & 0{,}8\end{pmatrix}U_n.$$

2. Relation U(n+1) = A U(n) + C

Soit $(U_n)$ telle que $U_{n+1} = AU_n + C$. On suppose que $I - A$ est inversible, et on pose $L = (I - A)^{-1}C$, qui vérifie $L = AL + C$ (état stable). Alors pour tout $n$ : $$U_n = A^n(U_0 - L) + L.$$

Preuve du théorème.

$L = (I - A)^{-1}C$ équivaut à $(I - A)L = C$, soit $L = AL + C$.

Posons $V_n = U_n - L$. Alors $V_{n+1} = U_{n+1} - L = (AU_n + C) - (AL + C) = A(U_n - L) = AV_n$. D'après la propriété précédente, $V_n = A^nV_0$, soit $U_n - L = A^n(U_0 - L)$. $\blacksquare$

C'est la même méthode que pour les suites arithmético-géométriques $u_{n+1} = au_n + b$ : on se ramène au cas « géométrique » en soustrayant le point fixe.

Si $A^n$ tend vers la matrice nulle (tous ses coefficients tendent vers 0), alors $U_n$ converge vers l'état stable $L$, quel que soit $U_0$.

3. Calcul de Aⁿ avec une matrice diagonale

Si $A = PDP^{-1}$ avec $P$ inversible et $D$ diagonale, alors pour tout $n$ : $A^n = PD^nP^{-1}$, et $D^n$ se calcule directement.

Preuve par récurrence : $A^{n+1} = A^nA = PD^nP^{-1}PDP^{-1} = PD^{n+1}P^{-1}$ car $P^{-1}P = I$. Les matrices $P$ et $D$ sont données par l'énoncé.

Avec $P = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1\end{pmatrix}$ et $D = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0{,}7\end{pmatrix}$, on vérifie que $AP = PD$, donc $A = PDP^{-1}$ avec $P^{-1} = \frac13\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -2\end{pmatrix}$.

Comme $0{,}7^n \to 0$, $D^n \to \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix}$ et $A^n \to \dfrac13\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 1\end{pmatrix}$. À long terme, $a_n \to \frac23(a_0 + b_0)$ et $b_n \to \frac13(a_0 + b_0)$ : deux tiers de la population totale vivent en A.

4. Suites récurrentes linéaires d'ordre 2

Si $u_{n+2} = au_{n+1} + bu_n$, on pose $U_n = \begin{pmatrix} u_{n+1} \\ u_n\end{pmatrix}$. Alors $U_{n+1} = \begin{pmatrix} u_{n+2} \\ u_{n+1}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ 1 & 0\end{pmatrix}U_n$, donc $U_n = A^nU_0$.

Exemple : la suite de Fibonacci $F_{n+2} = F_{n+1} + F_n$ ($F_0 = 0$, $F_1 = 1$) correspond à $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}$, et l'on montre par récurrence que $A^n = \begin{pmatrix} F_{n+1} & F_n \\ F_n & F_{n-1}\end{pmatrix}$ pour $n \geqslant 1$.

Le modèle proie-prédateur de Lotka et Volterra (1925-1926) explique les oscillations des populations observées par exemple chez les lynx et les lièvres du Canada, grâce aux relevés de la Compagnie de la baie d'Hudson. Sa version discrète et linéarisée conduit à une suite $U_{n+1} = AU_n + C$.

Méthodes à connaître

  1. Cherche une matrice colonne constante $L$ telle que $L = AL + C$, soit $(I - A)L = C$.
  2. Pose $V_n = U_n - L$ : alors $V_{n+1} = AV_n$ et $V_n = A^nV_0$.
  3. Conclus : $U_n = A^n(U_0 - L) + L$ ; si $A^n$ tend vers la matrice nulle, $U_n$ converge vers $L$.
  1. On te donne $A = PDP^{-1}$ avec $D$ diagonale.
  2. Montre par récurrence que $A^n = PD^nP^{-1}$.
  3. $D^n$ s'obtient en élevant chaque coefficient diagonal à la puissance $n$.

Mini-jeux

Exercices

On définit $u_0 = 1$, $v_0 = 0$ et $u_{n+1} = 2u_n - v_n$, $v_{n+1} = u_n + 3v_n$. Écrire la relation sous la forme $U_{n+1} = AU_n$, puis calculer $U_1$ et $U_2$.

$v_2 =$

$A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 3\end{pmatrix}$, $U_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1\end{pmatrix}$, $U_2 = \begin{pmatrix} 4 - 1 \\ 2 + 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 5\end{pmatrix}$.

La suite $(u_n)$ vérifie $u_{n+2} = u_{n+1} + 2u_n$ avec $u_0 = 0$ et $u_1 = 1$. Écrire la matrice $A$ associée, puis calculer $u_5$.

$u_5 =$

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 0\end{pmatrix}$. Les termes : $0, 1, 1, 3, 5, 11$. Donc $u_5 = 11$.

On considère $U_{n+1} = AU_n + C$ avec $A = \begin{pmatrix} 0{,}5 & 0{,}2 \\ 0{,}1 & 0{,}6\end{pmatrix}$ et $C = \begin{pmatrix} 3 \\ 2\end{pmatrix}$. Déterminer l'état stable $L$.

$I - A = \begin{pmatrix} 0{,}5 & -0{,}2 \\ -0{,}1 & 0{,}4\end{pmatrix}$, de déterminant $0{,}2 - 0{,}02 = 0{,}18$. $L = \dfrac{1}{0{,}18}\begin{pmatrix} 0{,}4 & 0{,}2 \\ 0{,}1 & 0{,}5\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 \\ 2\end{pmatrix} = \dfrac{1}{0{,}18}\begin{pmatrix} 1{,}6 \\ 1{,}3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 80/9 \\ 65/9\end{pmatrix}$. Vérification : $0{,}5 \times \frac{80}{9} + 0{,}2 \times \frac{65}{9} + 3 = \frac{40 + 13 + 27}{9} = \frac{80}{9}$.

On reprend l'exemple des deux villes, avec $a_0 = 1\,000$ et $b_0 = 200$. (a) Vérifier que $AP = PD$. (b) Exprimer $a_n$ en fonction de $n$. (c) Quelle est la limite de $(a_n)$ ?

(a) $AP = \begin{pmatrix} 2 & 0{,}7 \\ 1 & -0{,}7\end{pmatrix} = PD$. (b) $A^n = PD^nP^{-1} = \frac13\begin{pmatrix} 2 + 0{,}7^n & 2 - 2 \times 0{,}7^n \\ 1 - 0{,}7^n & 1 + 2 \times 0{,}7^n\end{pmatrix}$, donc $a_n = \frac13\left[(2 + 0{,}7^n) \times 1\,000 + (2 - 2 \times 0{,}7^n) \times 200\right] = 800 + 200 \times 0{,}7^n$. (c) $a_n \to 800 = \frac23 \times 1\,200$.

Soit $\varphi = \frac{1 + \sqrt5}{2}$ et $\psi = \frac{1 - \sqrt5}{2}$, racines de $x^2 = x + 1$. (a) Vérifier que $A\begin{pmatrix} \varphi \\ 1\end{pmatrix} = \varphi\begin{pmatrix} \varphi \\ 1\end{pmatrix}$ avec $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}$. (b) Montrer par récurrence que $F_n = \dfrac{\varphi^n - \psi^n}{\sqrt5}$ (formule de Binet). (c) En déduire la limite de $\frac{F_{n+1}}{F_n}$.

(a) $A\begin{pmatrix} \varphi \\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \varphi + 1 \\ \varphi\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \varphi^2 \\ \varphi\end{pmatrix}$. (b) Vrai pour $n = 0$ et $n = 1$ ; si c'est vrai aux rangs $n$ et $n + 1$, alors $F_{n+2} = \frac{\varphi^n(\varphi + 1) - \psi^n(\psi + 1)}{\sqrt5} = \frac{\varphi^{n+2} - \psi^{n+2}}{\sqrt5}$ (récurrence double). (c) $|\psi| < 1$, donc $\frac{F_{n+1}}{F_n} = \frac{\varphi^{n+1} - \psi^{n+1}}{\varphi^n - \psi^n} \to \varphi \approx 1{,}618$.

Soit $A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 0{,}5\end{pmatrix}$ et $U_0 = \begin{pmatrix} 1 \\ 8\end{pmatrix}$. Exprimer $U_n = A^nU_0$. Décrire le comportement des deux coordonnées ; pour quelle valeur de $n$ sont-elles égales ?

$U_n = \begin{pmatrix} 2^n \\ 8 \times 0{,}5^n\end{pmatrix}$ : la première tend vers $+\infty$, la seconde vers 0. $2^n = 8 \times 2^{-n} \iff 2^{2n} = 8 = 2^3$, soit $n = 1{,}5$ : jamais égales pour un entier $n$ ; la première dépasse la seconde à partir de $n = 2$.