∑ Formulaire de maths expertes
Les formules et théorèmes de l'option, regroupés par thème : nombres complexes, arithmétique, graphes et matrices.
Nombres complexes : forme algébrique
| Forme algébrique | $z = a + \mathrm{i}b$, $a = \mathrm{Re}(z)$, $b = \mathrm{Im}(z)$ ; $\mathrm{i}^2 = -1$ |
| Conjugué | $\overline{z} = a - \mathrm{i}b$ ; $\overline{z + z'} = \overline{z} + \overline{z'}$ ; $\overline{zz'} = \overline{z}\,\overline{z'}$ ; $\overline{z^n} = \overline{z}^{\,n}$ |
| Réel, imaginaire pur | $z \in \mathbb{R} \iff \overline{z} = z$ ; $z$ imaginaire pur $\iff \overline{z} = -z$ |
| Inverse | $\dfrac{1}{a + \mathrm{i}b} = \dfrac{a - \mathrm{i}b}{a^2 + b^2}$ (on multiplie par le conjugué) |
| Binôme de Newton | $(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k}a^kb^{n-k}$ |
Module et argument
| Module | $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ ; $z\overline{z} = |z|^2$ ; $|zz'| = |z||z'|$ ; $\left|\dfrac{z}{z'}\right| = \dfrac{|z|}{|z'|}$ ; $|z + z'| \leqslant |z| + |z'|$ |
| Forme trigonométrique | $z = r(\cos\theta + \mathrm{i}\sin\theta)$, $r = |z|$, $\theta = \arg z\ [2\pi]$ ; $\cos\theta = \dfrac{a}{r}$, $\sin\theta = \dfrac{b}{r}$ |
| Forme exponentielle | $z = r\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}$ ; $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta'} = \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\theta + \theta')}$ ; $\overline{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}} = \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta}$ |
| Arguments | $\arg(zz') = \arg z + \arg z'$ ; $\arg\dfrac{z}{z'} = \arg z - \arg z'$ ; $\arg(z^n) = n\arg z\ [2\pi]$ |
| Moivre | $(\cos\theta + \mathrm{i}\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + \mathrm{i}\sin(n\theta)$ |
| Euler | $\cos\theta = \dfrac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta}}{2}$ ; $\sin\theta = \dfrac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta}}{2\mathrm{i}}$ |
Équations et géométrie
| $az^2 + bz + c = 0$ (coefficients réels), $\Delta < 0$ | $z_{1,2} = \dfrac{-b \pm \mathrm{i}\sqrt{-\Delta}}{2a}$ (solutions conjuguées) |
| Factorisation | si $P(z_0) = 0$, alors $P(z) = (z - z_0)Q(z)$ |
| Racines $n$-ièmes de l'unité | $\omega_k = \mathrm{e}^{\frac{2\mathrm{i}k\pi}{n}}$, $k \in \{0, \ldots, n - 1\}$ ; leur somme est nulle ($n \geqslant 2$) |
| Distance, angle | $AB = |z_B - z_A|$ ; $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = \arg\dfrac{z_C - z_A}{z_B - z_A}\ [2\pi]$ |
| Alignement, orthogonalité | $A$, $B$, $C$ alignés $\iff \dfrac{z_C - z_A}{z_B - z_A} \in \mathbb{R}$ ; $(AB) \perp (AC) \iff$ ce quotient est imaginaire pur |
Divisibilité et congruences
| Division euclidienne | $a = bq + r$ avec $0 \leqslant r < b$ ($b > 0$), $q$ et $r$ uniques |
| Divisibilité | si $d \mid a$ et $d \mid b$, alors $d \mid au + bv$ pour tous entiers $u$, $v$ |
| Congruence | $a \equiv b\ [n] \iff n \mid a - b \iff a$ et $b$ ont le même reste dans la division par $n$ |
| Compatibilité | si $a \equiv b$ et $c \equiv d\ [n]$ : $a + c \equiv b + d$, $ac \equiv bd$, $a^k \equiv b^k\ [n]$ |
| Petit théorème de Fermat | $p$ premier : $a^p \equiv a\ [p]$ ; si $p \nmid a$ : $a^{p-1} \equiv 1\ [p]$ |
PGCD et nombres premiers
| Algorithme d'Euclide | $\mathrm{PGCD}(a, b) = \mathrm{PGCD}(b, r)$ ; le dernier reste non nul est le PGCD |
| Bézout | $a$ et $b$ premiers entre eux $\iff$ il existe $u, v \in \mathbb{Z}$ tels que $au + bv = 1$ |
| Identité de Bézout | il existe $u, v$ tels que $au + bv = \mathrm{PGCD}(a, b)$ |
| Gauss | si $a \mid bc$ et $\mathrm{PGCD}(a, b) = 1$, alors $a \mid c$ |
| Conséquence | si $a \mid n$, $b \mid n$ et $\mathrm{PGCD}(a, b) = 1$, alors $ab \mid n$ |
| Nombres premiers | une infinité ; tout entier $n \geqslant 2$ se décompose de façon unique en produit de facteurs premiers ; $n$ non premier a un diviseur premier $\leqslant \sqrt n$ |
Matrices
| Produit | $(AB)_{ij} = \sum_k a_{ik}b_{kj}$ ; en général $AB \neq BA$ |
| Inverse $2 \times 2$ | $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ inversible $\iff ad - bc \neq 0$ ; $A^{-1} = \dfrac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$ |
| Système linéaire | $AX = B \iff X = A^{-1}B$ ($A$ inversible) |
| Suites de matrices | $U_{n+1} = AU_n \Rightarrow U_n = A^nU_0$ |
Graphes et chaînes de Markov
| Degrés | somme des degrés $= 2 \times$ nombre d'arêtes |
| Matrice d'adjacence | le coefficient $(i, j)$ de $M^n$ est le nombre de chaînes de longueur $n$ de $i$ à $j$ |
| Chaîne eulérienne | graphe connexe : chaîne eulérienne $\iff$ 0 ou 2 sommets de degré impair (cycle si 0) |
| Chaîne de Markov | matrice de transition $P$ (lignes de somme 1) ; $\pi_{n+1} = \pi_nP$, $\pi_n = \pi_0P^n$ |
| État stable | $\pi = \pi P$ avec somme des coefficients égale à $1$ |