Nombres complexes et géométrie

Un seul quotient, $\dfrac{c - a}{b - a}$, contient une longueur et un angle : de quoi démontrer des alignements, des orthogonalités, reconnaître des triangles. Et les solutions de $z^n = 1$ dessinent des polygones réguliers.

  • Calculer des longueurs et des angles avec les complexes
  • Démontrer un alignement, une orthogonalité
  • Déterminer l'ensemble $\mathbb{U}_n$ des racines $n$-ièmes de l'unité
  • Utiliser les racines de l'unité pour étudier des polygones réguliers

Cours

1. Longueurs et angles

Soit $A$, $B$, $C$, $D$ des points d'affixes $a$, $b$, $c$, $d$, avec $A \neq B$ et $C \neq D$.

  • $AB = |b - a|$ et $(\vec u, \overrightarrow{AB}) \equiv \arg(b - a)\ [2\pi]$ ;
  • $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CD}) \equiv \arg\left(\dfrac{d - c}{b - a}\right)\ [2\pi]$.

Si $A$, $B$, $C$ sont distincts :

$$\left|\frac{c - a}{b - a}\right| = \frac{AC}{AB} \qquad\qquad \arg\left(\frac{c - a}{b - a}\right) \equiv (\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})\ [2\pi].$$

  • $A$, $B$, $C$ sont alignés $\iff \dfrac{c - a}{b - a}$ est réel ;
  • $(AB) \perp (AC) \iff \dfrac{c - a}{b - a}$ est imaginaire pur.

Justification des propriétés ci-dessus.

Module d'un quotient : $\left|\dfrac{c - a}{b - a}\right| = \dfrac{|c - a|}{|b - a|} = \dfrac{AC}{AB}$.

Argument d'un quotient et relation de Chasles pour les angles orientés : $\arg(c - a) - \arg(b - a) \equiv (\vec u, \overrightarrow{AC}) - (\vec u, \overrightarrow{AB}) \equiv (\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})$.

Enfin un complexe non nul est réel si et seulement si son argument vaut $0$ ou $\pi$ (angle plat ou nul : points alignés), et imaginaire pur si et seulement si son argument vaut $\pm\frac\pi2$ (angle droit). $\blacksquare$

$A(1 + i)$, $B(3 + 2i)$, $C(3i)$ : $\dfrac{c - a}{b - a} = \dfrac{-1 + 2i}{2 + i} = \dfrac{(-1 + 2i)(2 - i)}{5} = \dfrac{-2 + i + 4i + 2}{5} = i$.

Module 1 : $AC = AB$. Argument $\frac\pi2$ : angle droit en $A$. Le triangle $ABC$ est rectangle isocèle en $A$.

Avec $q = \dfrac{c - a}{b - a}$ : $q = \pm i$ → rectangle isocèle en $A$ ; $q = e^{\pm i\pi/3}$ → équilatéral ; $|q| = 1$ → isocèle en $A$ ; $q$ imaginaire pur → rectangle en $A$.

2. Transformations du plan

Le programme d'Erlangen de Felix Klein (1872) décrit une géométrie par ses transformations. Avec les complexes, les plus courantes s'écrivent très simplement.

  • Translation de vecteur d'affixe $b$ : $z' = z + b$ ;
  • rotation de centre $\Omega(\omega)$ et d'angle $\theta$ : $z' - \omega = e^{i\theta}(z - \omega)$ ;
  • homothétie de centre $\Omega(\omega)$ et de rapport $k$ réel : $z' - \omega = k(z - \omega)$.

Plus généralement, $z' = az + b$ ($a \neq 0$) est une similitude : elle multiplie les longueurs par $|a|$ et fait tourner d'un angle $\arg a$.

Image de $B(3 + i)$ par la rotation de centre $A(1 + i)$ et d'angle $\frac\pi2$ : $b' - a = i(b - a) = i \times 2 = 2i$, donc $b' = 1 + 3i$.

3. Racines n-ièmes de l'unité

Pour $n \geqslant 1$, on appelle racine $n$-ième de l'unité tout complexe $z$ tel que $z^n = 1$. On note $\mathbb{U}_n$ leur ensemble.

$$\mathbb{U}_n = \left\{e^{\frac{2ik\pi}{n}},\ k \in \{0, 1, \dots, n - 1\}\right\}$$

et ces $n$ nombres sont distincts : il y a exactement $n$ racines $n$-ièmes de l'unité.

Analyse. Soit $z$ tel que $z^n = 1$. Alors $|z|^n = |z^n| = 1$, et comme $|z|$ est un réel positif, $|z| = 1$. On peut donc écrire $z = e^{i\theta}$ avec $\theta$ réel. Alors $z^n = e^{in\theta} = 1 = e^{i0}$, donc $n\theta \equiv 0\ [2\pi]$ : il existe un entier $k$ tel que $n\theta = 2k\pi$, soit $\theta = \frac{2k\pi}{n}$.

Synthèse. Réciproquement, pour tout entier $k$, $\left(e^{\frac{2ik\pi}{n}}\right)^n = e^{2ik\pi} = 1$.

Dénombrement. Pour $k \in \mathbb{Z}$, on écrit la division euclidienne $k = nq + r$ avec $0 \leqslant r \leqslant n - 1$ : $e^{\frac{2ik\pi}{n}} = e^{2iq\pi}e^{\frac{2ir\pi}{n}} = e^{\frac{2ir\pi}{n}}$. Il suffit donc de prendre $k \in \{0, \dots, n - 1\}$. Ces $n$ nombres sont distincts, car leurs arguments $\frac{2k\pi}{n}$ sont des réels distincts de l'intervalle $[0\,;\,2\pi[$. $\blacksquare$

En posant $\omega = e^{\frac{2i\pi}{n}}$, on a $\mathbb{U}_n = \{1, \omega, \omega^2, \dots, \omega^{n-1}\}$. Pour $n \geqslant 3$, leurs images sont les sommets d'un polygone régulier à $n$ côtés inscrit dans le cercle trigonométrique, dont un sommet est le point d'affixe 1.

  • $\mathbb{U}_2 = \{1, -1\}$ ;
  • $\mathbb{U}_3 = \{1, j, j^2\}$ avec $j = e^{\frac{2i\pi}{3}} = -\frac12 + i\frac{\sqrt3}{2}$ et $j^2 = \bar j$ (triangle équilatéral) ;
  • $\mathbb{U}_4 = \{1, i, -1, -i\}$ (carré).

$1 + \omega + \omega^2 + \dots + \omega^{n-1} = \dfrac{1 - \omega^n}{1 - \omega} = 0$ (somme géométrique, $\omega \neq 1$). Par exemple $1 + j + j^2 = 0$.

Si $a = re^{i\alpha}$ ($r > 0$), l'équation $z^n = a$ a exactement $n$ solutions : $z_k = r^{1/n}e^{i\left(\frac{\alpha}{n} + \frac{2k\pi}{n}\right)}$, $k = 0, \dots, n - 1$. On les obtient en multipliant l'une d'elles par les éléments de $\mathbb{U}_n$.

Gauss démontre à 18 ans (1796) que le polygone régulier à 17 côtés est constructible à la règle et au compas, en étudiant les racines 17-ièmes de l'unité : un problème ouvert depuis Euclide. Il en fut si fier qu'il souhaitait voir un heptadécagone gravé sur sa tombe.

Méthodes à connaître

  1. Longueur : $AB = |z_B - z_A|$ ; angle : $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = \arg\dfrac{z_C - z_A}{z_B - z_A}$.
  2. $A$, $B$, $C$ alignés $\iff \dfrac{z_C - z_A}{z_B - z_A}$ est réel.
  3. $(AB) \perp (AC) \iff \dfrac{z_C - z_A}{z_B - z_A}$ est imaginaire pur.
  1. $z' = z + b$ : translation de vecteur d'affixe $b$.
  2. $z' - \omega = k(z - \omega)$ ($k$ réel) : homothétie de centre $\Omega$ et de rapport $k$.
  3. $z' - \omega = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}(z - \omega)$ : rotation de centre $\Omega$ et d'angle $\theta$.

Mini-jeux

Exercices

On donne $A(2 + i)$, $B(4 + 5i)$, $C(-2 + 3i)$. Calculer $\dfrac{c - a}{b - a}$ et en déduire la nature du triangle $ABC$.

$\dfrac{c - a}{b - a} =$

$\dfrac{-4 + 2i}{2 + 4i} = \dfrac{(-4 + 2i)(2 - 4i)}{20} = \dfrac{-8 + 16i + 4i + 8}{20} = i$. Triangle rectangle isocèle en $A$.

Les points $A(1 - i)$, $B(3 + 3i)$ et $C(-1 - 5i)$ sont-ils alignés ?

$\dfrac{c - a}{b - a} = \dfrac{-2 - 4i}{2 + 4i} = -1$ : réel, donc alignés. Plus précisément $\overrightarrow{AC} = -\overrightarrow{AB}$ : $A$ est le milieu de $[BC]$.

Écrire les éléments de $\mathbb{U}_3$ et de $\mathbb{U}_6$ sous forme algébrique. Quel est le lien entre les deux ensembles ?

$\mathbb{U}_3 = \left\{1, -\frac12 + i\frac{\sqrt3}{2}, -\frac12 - i\frac{\sqrt3}{2}\right\}$. $\mathbb{U}_6 = \left\{\pm1, \pm\frac12 \pm i\frac{\sqrt3}{2}\right\}$ (6 éléments). $\mathbb{U}_3 \subset \mathbb{U}_6$ car $z^3 = 1 \Rightarrow z^6 = 1$ ; les autres éléments de $\mathbb{U}_6$ sont les opposés de ceux de $\mathbb{U}_3$.

On donne $A(0)$ et $B(2)$. Déterminer l'affixe du point $C$ tel que $ABC$ soit équilatéral et $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = \frac\pi3$.

$c =$

$C$ est l'image de $B$ par la rotation de centre $A$ d'angle $\frac\pi3$ : $c = e^{i\pi/3} \times 2 = 1 + i\sqrt3$.

Résoudre $z^4 = -16$ dans $\mathbb{C}$ et placer les solutions.

$-16 = 16e^{i\pi}$. Solutions : $z_k = 2e^{i\left(\frac\pi4 + \frac{k\pi}{2}\right)}$, $k = 0, 1, 2, 3$, soit $\sqrt2 + i\sqrt2$, $-\sqrt2 + i\sqrt2$, $-\sqrt2 - i\sqrt2$, $\sqrt2 - i\sqrt2$ : les sommets d'un carré.

On considère la transformation $z' = iz + 2$. Montrer qu'elle a un unique point fixe $\Omega$ et que c'est une rotation dont on précisera le centre et l'angle.

$\omega = i\omega + 2 \iff \omega(1 - i) = 2 \iff \omega = \frac{2}{1 - i} = 1 + i$. Alors $z' - \omega = iz + 2 - i\omega - 2 = i(z - \omega)$ : rotation de centre $\Omega(1 + i)$ et d'angle $\frac\pi2$.

Soit $\omega = e^{2i\pi/5}$, $x = \omega + \omega^4$ et $y = \omega^2 + \omega^3$.

(a) Montrer que $x = 2\cos\frac{2\pi}{5}$ et $y = 2\cos\frac{4\pi}{5}$. (b) Calculer $x + y$ et $xy$. (c) En déduire la valeur exacte de $\cos\frac{2\pi}{5}$.

(a) $\omega^4 = \omega^{-1} = \bar\omega$, donc $x = \omega + \bar\omega = 2\,\mathrm{Re}(\omega) = 2\cos\frac{2\pi}{5}$ ; de même $\omega^3 = \overline{\omega^2}$.

(b) $x + y = \omega + \omega^2 + \omega^3 + \omega^4 = -1$ (la somme des racines 5-ièmes est nulle). $xy = \omega^3 + \omega^4 + \omega^6 + \omega^7 = \omega^3 + \omega^4 + \omega + \omega^2 = -1$ (car $\omega^5 = 1$).

(c) $x$ et $y$ sont les racines de $t^2 + t - 1 = 0$, soit $\frac{-1 \pm \sqrt5}{2}$. Comme $x > 0$ : $x = \frac{-1 + \sqrt5}{2}$ et $\cos\frac{2\pi}{5} = \frac{\sqrt5 - 1}{4} \approx 0{,}309$. C'est ce qui permet de construire le pentagone régulier à la règle et au compas.

On note $A(i)$ et $B(1)$. Pour $z \neq 1$, on pose $Z = \dfrac{z - i}{z - 1}$. Déterminer l'ensemble des points $M(z)$ tels que (a) $Z$ soit réel ; (b) $Z$ soit imaginaire pur.

Pour $M \neq A$ et $M \neq B$ : $\arg Z \equiv (\overrightarrow{MB}, \overrightarrow{MA})$.

(a) $Z$ réel $\iff Z = 0$ ou $M$, $A$, $B$ alignés : c'est la droite $(AB)$ privée de $B$.

(b) $Z$ imaginaire pur $\iff Z = 0$ ou $(MA) \perp (MB)$ : c'est le cercle de diamètre $[AB]$ privé de $B$.