Nombres complexes : point de vue algébrique

Aucun réel n'a un carré égal à $-1$. On agrandit donc $\mathbb{R}$ en un nouvel ensemble, $\mathbb{C}$, qui contient un nombre $i$ tel que $i^2 = -1$ et où l'on calcule avec les règles habituelles. Toute équation du second degré y a des solutions.

Calculer avec la forme algébrique $a + ib$
Utiliser le conjugué, calculer un inverse, un quotient
Résoudre des équations du premier degré, faisant intervenir $z$ et $\bar z$
Démontrer et utiliser la formule du binôme

Cours

1. L'ensemble ℂ des nombres complexes

Il existe un ensemble $\mathbb{C}$, appelé ensemble des nombres complexes, qui :

contient $\mathbb{R}$ ;
est muni d'une addition et d'une multiplication qui prolongent celles de $\mathbb{R}$ et suivent les mêmes règles de calcul (commutativité, associativité, distributivité, $0$ et $1$ neutres, tout élément non nul a un inverse) ;
contient un nombre $i$ tel que $i^2 = -1$ ;
tout élément $z$ s'écrit de manière unique $z = a + ib$ avec $a$ et $b$ réels.

L'écriture $z = a + ib$ ($a, b \in \mathbb{R}$) est la forme algébrique de $z$. Le réel $a$ est la partie réelle de $z$, notée $\mathrm{Re}(z)$ ; le réel $b$ est la partie imaginaire, notée $\mathrm{Im}(z)$.

$z$ est réel si et seulement si $\mathrm{Im}(z) = 0$ ;
$z$ est imaginaire pur si et seulement si $\mathrm{Re}(z) = 0$ (par exemple $3i$, $-i$).

Par unicité de la forme algébrique : $\;a + ib = a' + ib' \iff a = a'$ et $b = b'$. En particulier $a + ib = 0 \iff a = b = 0$.

La partie imaginaire de $3 - 5i$ est le réel $-5$, pas $-5i$. Et il n'y a pas d'ordre sur $\mathbb{C}$ compatible avec les opérations : écrire $z < z'$ n'a pas de sens pour des complexes non réels (voir l'exercice 8).

On représente $z = a + ib$ par le point $M(a\,;\,b)$ d'un repère orthonormé : c'est le plan complexe, étudié en détail au chapitre suivant. Il aide beaucoup à visualiser les calculs.

2. Opérations

Pour $z = a + ib$ et $z' = a' + ib'$ :

$$z + z' = (a + a') + i(b + b') \qquad zz' = (aa' - bb') + i(ab' + a'b).$$

Inutile d'apprendre la formule du produit : on développe comme d'habitude, puis on remplace $i^2$ par $-1$.

$(2 + 3i)(1 - 4i) = 2 - 8i + 3i - 12i^2 = 2 - 5i + 12 = 14 - 5i$.

$(a + ib)^2 = a^2 + 2iab + i^2b^2 = a^2 - b^2 + 2abi$ ; $\quad (a + ib)(a - ib) = a^2 - (ib)^2 = a^2 + b^2$.

$i^0 = 1$, $i^1 = i$, $i^2 = -1$, $i^3 = -i$, $i^4 = 1$, puis cela recommence : pour tout entier $k$, $i^{4k} = 1$, $i^{4k+1} = i$, $i^{4k+2} = -1$, $i^{4k+3} = -i$.

Exemple : $2027 = 4 \times 506 + 3$ donc $i^{2027} = -i$.

3. Conjugué

Le conjugué de $z = a + ib$ est $\bar z = a - ib$. Son image est le symétrique de celle de $z$ par rapport à l'axe réel.

$z + \bar z = 2\,\mathrm{Re}(z)$ et $z - \bar z = 2i\,\mathrm{Im}(z)$ ;
$z\bar z = a^2 + b^2$ : c'est un réel positif, nul seulement si $z = 0$ ;
$z$ est réel $\iff \bar z = z$ ; $\quad z$ est imaginaire pur $\iff \bar z = -z$ ;
$\bar{\bar z} = z$ et $\overline{z + z'} = \bar z + \bar{z'}$.

Pour tous complexes $z$ et $z'$ et tout entier naturel $n$ :

$$\overline{zz'} = \bar z\,\bar{z'} \qquad \overline{\left(\frac{1}{z}\right)} = \frac{1}{\bar z}\ (z \neq 0) \qquad \overline{z^n} = \bar z^{\,n}.$$

Produit. Écrivons $z = a + ib$ et $z' = a' + ib'$. D'une part $zz' = (aa' - bb') + i(ab' + a'b)$, donc $\overline{zz'} = (aa' - bb') - i(ab' + a'b)$.

D'autre part $\bar z\,\bar{z'} = (a - ib)(a' - ib') = aa' - iab' - ia'b + i^2bb' = (aa' - bb') - i(ab' + a'b)$. Les deux expressions sont égales.

Inverse. Si $z \neq 0$ : $z \times \frac1z = 1$. En passant au conjugué et en utilisant le produit : $\bar z \times \overline{\left(\frac1z\right)} = \bar 1 = 1$. Comme $\bar z \neq 0$, on obtient $\overline{\left(\frac1z\right)} = \frac{1}{\bar z}$.

Puissance. Par récurrence sur $n$. Pour $n = 0$ : $\overline{z^0} = \bar 1 = 1 = \bar z^{\,0}$. Si $\overline{z^n} = \bar z^{\,n}$ pour un entier $n$, alors, avec la règle du produit : $$\overline{z^{n+1}} = \overline{z^n \times z} = \overline{z^n} \times \bar z = \bar z^{\,n} \times \bar z = \bar z^{\,n+1}.$$

La propriété est vraie pour tout $n \in \mathbb{N}$ (et aussi pour $n$ entier négatif si $z \neq 0$, en combinant avec l'inverse). $\blacksquare$

On en déduit $\overline{\left(\dfrac{z}{z'}\right)} = \dfrac{\bar z}{\bar{z'}}$. Ces règles permettent de calculer le conjugué d'une expression sans la développer : $\overline{(2 + i)^5} = (2 - i)^5$.

4. Inverse et quotient

Si $z = a + ib \neq 0$ : $\quad\dfrac1z = \dfrac{\bar z}{z\bar z} = \dfrac{a - ib}{a^2 + b^2} = \dfrac{a}{a^2 + b^2} - i\dfrac{b}{a^2 + b^2}.$

On multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur, qui devient ainsi un réel :

$$\frac{3 + i}{1 - 2i} = \frac{(3 + i)(1 + 2i)}{(1 - 2i)(1 + 2i)} = \frac{3 + 6i + i + 2i^2}{1 + 4} = \frac{1 + 7i}{5} = \frac15 + \frac75 i.$$

5. Équations

Dans $\mathbb{C}$, un produit est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul (si $z \neq 0$, on multiplie $zz' = 0$ par $\frac1z$).

Pour $a \neq 0$, l'équation $az = b$ a une unique solution : $z = \dfrac ba$, que l'on met ensuite sous forme algébrique.

Résoudre $2z - \bar z = 1 + 6i$. On pose $z = x + iy$ ($x, y$ réels) :

$$2(x + iy) - (x - iy) = x + 3iy = 1 + 6i \iff \begin{cases} x = 1 \\ 3y = 6\end{cases}$$

par identification des parties réelles et imaginaires. Donc $z = 1 + 2i$.

$z^2 = -4 \iff z^2 - (2i)^2 = 0 \iff (z - 2i)(z + 2i) = 0 \iff z = 2i$ ou $z = -2i$.

6. Formule du binôme

Pour tous nombres complexes $a$ et $b$ et tout entier naturel $n$ :

$$(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^kb^{n-k} = b^n + \binom n1 ab^{n-1} + \dots + \binom{n}{n-1}a^{n-1}b + a^n.$$

Par récurrence sur $n$. Notons $\mathcal{P}(n)$ l'égalité ci-dessus.

Initialisation. $(a + b)^0 = 1$ et $\sum_{k=0}^{0}\binom0k a^kb^{-k} = \binom00 a^0b^0 = 1$ : $\mathcal{P}(0)$ est vraie.

Hérédité. Supposons $\mathcal{P}(n)$ vraie. Alors $$(a + b)^{n+1} = (a + b)(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n}\binom nk a^{k+1}b^{n-k} + \sum_{k=0}^{n}\binom nk a^kb^{n+1-k}.$$ Dans la première somme, on pose $j = k + 1$ : elle vaut $\sum_{j=1}^{n+1}\binom{n}{j-1}a^jb^{n+1-j}$. On regroupe les termes de même exposant :

pour $1 \leqslant k \leqslant n$ : $\left[\binom{n}{k-1} + \binom nk\right]a^kb^{n+1-k} = \binom{n+1}{k}a^kb^{n+1-k}$ par la relation de Pascal ;
le terme $k = n + 1$ vient de la première somme : $\binom nn a^{n+1} = \binom{n+1}{n+1}a^{n+1}$ ;
le terme $k = 0$ vient de la seconde : $\binom n0 b^{n+1} = \binom{n+1}{0}b^{n+1}$.

Donc $(a + b)^{n+1} = \sum_{k=0}^{n+1}\binom{n+1}{k}a^kb^{n+1-k}$ : $\mathcal{P}(n + 1)$ est vraie. Par récurrence, la formule est vraie pour tout $n$. $\blacksquare$

La preuve utilise $ab = ba$ (on a regroupé $a^kb^{n-k}$ quel que soit l'ordre des facteurs) : la formule est fausse pour des matrices qui ne commutent pas.

Les coefficients $1, 4, 6, 4, 1$ se lisent sur le triangle de Pascal : $(1 + i)^4 = 1 + 4i + 6i^2 + 4i^3 + i^4 = 1 + 4i - 6 - 4i + 1 = -4.$

En 1545, Cardan publie une formule donnant une solution de $x^3 = px + q$. Pour $x^3 = 15x + 4$, elle fait apparaître $\sqrt{-121}$ alors que $4$ est une solution évidente ! Bombelli (1572) ose calculer avec ces racines « impossibles » en posant $(\sqrt{-1})^2 = -1$ et retrouve $4$. Descartes les appelle imaginaires (1637), Euler introduit la notation $i$ (1777) et Gauss le nom de nombres complexes (1831).

Mini-jeux

Exercices

Écrire sous forme algébrique : $z_1 = (2 - 3i)(4 + i)$, $\;z_2 = (1 + i)^2$, $\;z_3 = (3 - 2i)^2 - (3 + 2i)^2$, $\;z_4 = i^{2027}$.

$z_1 =$

$z_1 = 8 + 2i - 12i - 3i^2 = 11 - 10i$ ; $\;z_2 = 1 + 2i + i^2 = 2i$ ; $\;z_3 = (9 - 12i - 4) - (9 + 12i - 4) = -24i$ ; $\;z_4 = -i$ car $2027 = 4 \times 506 + 3$.

Écrire sous forme algébrique $\dfrac{1}{1 + i}$ et $\dfrac{1 + 2i}{3 - i}$.

$\dfrac{1 + 2i}{3 - i} =$

$\dfrac{1}{1 + i} = \dfrac{1 - i}{2} = \dfrac12 - \dfrac12 i$. $\;\dfrac{(1 + 2i)(3 + i)}{(3 - i)(3 + i)} = \dfrac{3 + i + 6i + 2i^2}{10} = \dfrac{1 + 7i}{10} = 0{,}1 + 0{,}7i$.

Soit $z = 3 - 2i$. Calculer $z\bar z$, $z + \bar z$, $z - \bar z$ et $\dfrac{z}{\bar z}$.

$z\bar z = 9 + 4 = 13$ ; $z + \bar z = 6$ ; $z - \bar z = -4i$ ; $\dfrac{z}{\bar z} = \dfrac{z^2}{z\bar z} = \dfrac{9 - 12i - 4}{13} = \dfrac{5}{13} - \dfrac{12}{13}i$.

Résoudre dans $\mathbb{C}$ : (a) $(1 + i)z = 3 - i$ ; (b) $2z + i = \bar z + 3$ ; (c) $z^2 = -9$.

(a) $z =$

(a) $z = \dfrac{3 - i}{1 + i} = \dfrac{(3 - i)(1 - i)}{2} = \dfrac{3 - 3i - i + i^2}{2} = \dfrac{2 - 4i}{2} = 1 - 2i$.

(b) Avec $z = x + iy$ : $2x + 2iy + i = x - iy + 3 \iff (x - 3) + i(3y + 1) = 0 \iff x = 3,\ y = -\frac13$. Donc $z = 3 - \frac13 i$.

Pour quelle(s) valeur(s) du réel $x$ le nombre $(x + i)(1 - 2i)$ est-il réel ? imaginaire pur ?

Réel pour $x =$

$(x + i)(1 - 2i) = x - 2xi + i - 2i^2 = (x + 2) + i(1 - 2x)$. Réel $\iff 1 - 2x = 0 \iff x = \frac12$. Imaginaire pur $\iff x + 2 = 0 \iff x = -2$.

Développer $(2 - i)^3$ avec la formule du binôme, puis calculer $(1 + i)^5$ en utilisant $(1 + i)^4 = -4$.

$(2 - i)^3 = 2^3 + 3 \times 2^2 \times (-i) + 3 \times 2 \times (-i)^2 + (-i)^3 = 8 - 12i - 6 + i = 2 - 11i$. $\;(1 + i)^5 = -4(1 + i) = -4 - 4i$.

Calculer $S = 1 + i + i^2 + \dots + i^{2026}$.

C'est la somme des termes d'une suite géométrique de raison $i \neq 1$ : la formule de Première reste valable dans $\mathbb{C}$.

$S = \dfrac{1 - i^{2027}}{1 - i} = \dfrac{1 + i}{1 - i}$ car $i^{2027} = -i$. Puis $\dfrac{1 + i}{1 - i} = \dfrac{(1 + i)^2}{2} = \dfrac{2i}{2} = i$. Donc $S = i$ (les termes s'annulent par paquets de quatre : $1 + i - 1 - i = 0$).

On suppose qu'il existe un ordre $\leqslant$ sur $\mathbb{C}$ qui prolonge celui de $\mathbb{R}$ et vérifie les règles usuelles : si $x > 0$ et $y > 0$ alors $xy > 0$ ; si $x > 0$ alors $-x < 0$. En distinguant les cas $i > 0$ et $i < 0$, obtenir une contradiction.

Si $i > 0$, alors $i \times i > 0$, soit $-1 > 0$ : absurde. Si $i < 0$, alors $-i > 0$ et $(-i)(-i) = i^2 = -1 > 0$ : absurde. Un tel ordre n'existe pas : on ne compare pas des nombres complexes (on comparera leurs modules, qui sont des réels).