Automatismes

Chaque chapitre de l'option installe des réflexes de calcul : formes algébrique et exponentielle des complexes, congruences, PGCD, calcul matriciel. Bien entretenus, ils libèrent l'esprit pour les exercices de recherche. Quelques minutes par jour suffisent : choisis un thème et bats ton record.

  • Calculer dans $\mathbb{C}$
  • Module, argument, forme exponentielle
  • Congruences, PGCD, nombres premiers
  • Matrices et graphes
  • Complexes : écrire sous forme algébrique une somme, un produit, un quotient (on multiplie par le conjugué du dénominateur) ; calculer un module et un argument ; passer à la forme exponentielle ; calculer une puissance ; résoudre une équation du second degré à coefficients réels.
  • Arithmétique : effectuer une division euclidienne, y compris d'un entier négatif ; trouver le reste d'une puissance avec les congruences ou le petit théorème de Fermat ; calculer un PGCD avec l'algorithme d'Euclide ; trouver un couple de Bézout et un inverse modulo $n$.
  • Matrices et graphes : calculer un produit ligne × colonne, un déterminant et l'inverse d'une matrice $2 \times 2$ ; relier degrés et nombre d'arêtes ; compter des chemins avec les puissances de la matrice d'adjacence.

Défi mixte

Nombres complexes

Arithmétique

Matrices et graphes

Fiche mémo

  • $i^2 = -1$ ; $z\bar z = |z|^2 = a^2 + b^2$ ; $\dfrac1z = \dfrac{\bar z}{|z|^2}$ ; $\overline{zz'} = \bar z\,\bar{z'}$.
  • $|zz'| = |z|\,|z'|$ et $\arg(zz') \equiv \arg z + \arg z'\ [2\pi]$ ; $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$ ; $\left(re^{i\theta}\right)^n = r^ne^{in\theta}$.
  • Euler : $\cos\theta = \dfrac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}$, $\sin\theta = \dfrac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}$. Moivre : $(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta)$.
  • Si $\Delta < 0$, $az^2 + bz + c = 0$ ($a$, $b$, $c$ réels) a deux solutions conjuguées $\dfrac{-b \pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}$.
  • Si $P(a) = 0$, alors $P(z) = (z - a)Q(z)$ ; un polynôme de degré $n$ a au plus $n$ racines.
  • $\mathbb{U}_n = \left\{e^{\frac{2ik\pi}{n}},\ k = 0, \dots, n - 1\right\}$ et la somme de ses éléments est nulle ($n \geqslant 2$).
  • Division euclidienne : $a = bq + r$ avec $0 \leqslant r < b$. Congruence : $a \equiv b\ [n] \iff n \mid a - b$, compatible avec la somme, le produit et les puissances.
  • Bézout : $a$ et $b$ sont premiers entre eux si et seulement s'il existe des entiers $u$ et $v$ tels que $au + bv = 1$. Gauss : si $a \mid bc$ et $\mathrm{PGCD}(a, b) = 1$, alors $a \mid c$.
  • Petit théorème de Fermat : si $p$ est premier et ne divise pas $a$, alors $a^{p-1} \equiv 1\ [p]$.
  • $(AB)_{ij} = \displaystyle\sum_k a_{ik}b_{kj}$ (ligne $i$ de $A$ « fois » colonne $j$ de $B$) ; en général $AB \neq BA$.
  • $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d\end{pmatrix}^{-1} = \dfrac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a\end{pmatrix}$ si $ad - bc \neq 0$.
  • Somme des degrés $= 2 \times$ nombre d'arêtes ; le coefficient $(i, j)$ de $M^n$ compte les chemins de longueur $n$ de $i$ à $j$ ; chaîne de Markov : $\pi_{n+1} = \pi_nP$ et $\pi_n = \pi_0P^n$.