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Sujet blanc Axiome · Baccalauréat général · Première

Mathématiques — épreuve anticipée

Candidats suivant l'enseignement de spécialité mathématiques
Durée : 2 heures · L'usage de la calculatrice n'est pas autorisé.
Première partie : 6 points · Deuxième partie : 14 points

Première partie : automatismes — QCM (6 points)

Pour chaque question, une seule réponse est exacte. Aucune justification n'est demandée. Une réponse fausse ou l'absence de réponse n'enlève aucun point.

$\dfrac25 + \dfrac{1}{10}$ est égal à :
$\frac{4}{10} + \frac{1}{10} = \frac{5}{10} = \frac12$.
$2^5\times2^{-3}$ est égal à :
$2^{5 - 3} = 2^2 = 4$.
Après une hausse de 25 %, quelle évolution permet de revenir à la valeur initiale ?
$\frac{1}{1{,}25} = 0{,}8$ : baisse de 20 %.
La solution de l'équation $3x - 7 = 2x + 5$ est :
$3x - 2x = 5 + 7$.
Une factorisation de $x^2 - 16$ est :
$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
L'équation $x^2 + x + 1 = 0$ :
$\Delta = 1 - 4 = -3 < 0$.
La dérivée de $f(x) = \mathrm{e}^{3x}$ est :
$\big(g(ax + b)\big)' = a\,g'(ax + b)$.
La droite de coefficient directeur 2 passant par le point $(0\,;\,-1)$ a pour équation :
Ordonnée à l'origine $-1$.
$(u_n)$ est géométrique, $u_0 = 3$ et de raison 2. Alors $u_4$ vaut :
$3\times2^4 = 48$.
Dans un repère orthonormé, $\vec u(2\,;\,-1)$ et $\vec v(3\,;\,4)$. Le produit scalaire $\vec u\cdot\vec v$ vaut :
$2\times3 + (-1)\times4 = 2$.
$X$ prend la valeur $-1$ avec la probabilité $0{,}4$ et la valeur $2$ avec la probabilité $0{,}6$. $E(X)$ vaut :
$-0{,}4 + 1{,}2 = 0{,}8$.
$\sin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)$ est égal à :
La fonction sinus est impaire et $\sin\frac\pi6 = \frac12$.

Deuxième partie (14 points)

Dans un repère orthonormé, on considère les points $A(1\,;\,1)$, $B(5\,;\,3)$ et $C(0\,;\,3)$.

  1. Calculer les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$, puis le produit scalaire $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$. Que peut-on en déduire pour le triangle $ABC$ ?
  2. En déduire le centre $\Omega$ et le rayon du cercle circonscrit au triangle $ABC$, puis une équation de ce cercle.
  3. Le point $D(4\,;\,5)$ appartient-il à ce cercle ?
  1. $\overrightarrow{AB}(4\,;\,2)$, $\overrightarrow{AC}(-1\,;\,2)$, $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = -4 + 4 = 0$ : le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.
  2. Le cercle circonscrit à un triangle rectangle a pour diamètre l'hypoténuse $[BC]$ : centre $\Omega\left(\frac52\,;\,3\right)$, milieu de $[BC]$ ; $BC = 5$, rayon $\frac52$. Équation : $\left(x - \frac52\right)^2 + (y - 3)^2 = \frac{25}{4}$.
  3. $\left(4 - \frac52\right)^2 + (5 - 3)^2 = \frac94 + 4 = \frac{25}{4}$ : oui, $D$ est sur le cercle.

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = (2x - 1)\,\mathrm{e}^{x}$.

  1. Montrer que pour tout réel $x$, $f'(x) = (2x + 1)\,\mathrm{e}^{x}$.
  2. Étudier le signe de $f'(x)$ et dresser le tableau de variations de $f$ (on donnera la valeur exacte du minimum).
  3. Déterminer une équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse 0.
  4. Résoudre l'équation $f(x) = 0$, puis étudier le signe de $f$.
  1. $f = uv$ avec $u = 2x - 1$, $u' = 2$, $v = \mathrm{e}^x = v'$ : $f'(x) = 2\mathrm{e}^x + (2x - 1)\mathrm{e}^x = (2x + 1)\mathrm{e}^x$.
  2. $\mathrm{e}^x > 0$, donc $f'(x)$ est du signe de $2x + 1$ : négatif sur $\left]-\infty\,;\,-\frac12\right]$, positif sur $\left[-\frac12\,;\,+\infty\right[$. $f$ est décroissante puis croissante, de minimum $f\left(-\frac12\right) = -2\mathrm{e}^{-1/2}$.
  3. $f(0) = -1$ et $f'(0) = 1$ : $y = f'(0)(x - 0) + f(0)$, soit $y = x - 1$.
  4. $\mathrm{e}^x \neq 0$, donc $f(x) = 0 \iff 2x - 1 = 0 \iff x = \frac12$. $f(x)$ est du signe de $2x - 1$ : négatif pour $x < \frac12$, positif pour $x > \frac12$.

Une urne contient 3 boules rouges et 2 boules vertes. Un joueur tire successivement deux boules avec remise. Il gagne 5 € s'il obtient deux boules rouges, 1 € s'il obtient exactement une boule rouge, et perd 10 € s'il n'obtient aucune boule rouge. On note $X$ son gain algébrique.

  1. Représenter l'expérience par un arbre pondéré.
  2. Déterminer la loi de probabilité de $X$.
  3. Calculer $E(X)$. Le jeu est-il favorable au joueur ?
  4. L'organisateur veut rendre le jeu équitable en modifiant uniquement la perte $m$ (en euros) lorsqu'aucune boule rouge n'est tirée. Déterminer $m$.
  1. À chaque tirage : $R$ avec la probabilité $\frac35$, $V$ avec $\frac25$ (tirages indépendants, avec remise).
  2. $P(X = 5) = \left(\frac35\right)^2 = \frac{9}{25}$ ; $P(X = 1) = 2\times\frac35\times\frac25 = \frac{12}{25}$ ; $P(X = -10) = \left(\frac25\right)^2 = \frac{4}{25}$.
  3. $E(X) = \frac{45 + 12 - 40}{25} = \frac{17}{25} = 0{,}68 > 0$ : le jeu est favorable au joueur (il gagne 0,68 € par partie en moyenne).
  4. On veut $\frac{45 + 12 - 4m}{25} = 0$, soit $4m = 57$ et $m = 14{,}25$ : une perte de 14,25 €.