Sujet blanc Axiome · Baccalauréat général · Première

Mathématiques — épreuve anticipée

Candidats suivant l'enseignement de spécialité mathématiques
Durée : 2 heures · L'usage de la calculatrice n'est pas autorisé.
Première partie : 6 points · Deuxième partie : 14 points

Première partie : automatismes — QCM (6 points)

Pour chaque question, une seule réponse est exacte. Aucune justification n'est demandée. Une réponse fausse ou l'absence de réponse n'enlève aucun point.

$\dfrac34 - \dfrac23$ est égal à :

$\frac{9}{12} - \frac{8}{12} = \frac{1}{12}$.

25 % de 60 est égal à :

$\frac14\times60 = 15$.

Un prix augmente de 20 % puis baisse de 20 %. Globalement, il a :

$1{,}2\times0{,}8 = 0{,}96$ : baisse de 4 %.

Pour tout réel $x$, $(2x - 3)^2$ est égal à :

$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ avec $a = 2x$ et $b = 3$.

Les solutions de l'équation $x^2 - 5x + 6 = 0$ sont :

$x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$ (somme 5, produit 6).

Le coefficient directeur de la droite passant par $A(1\,;\,3)$ et $B(3\,;\,-1)$ est :

$\frac{-1 - 3}{3 - 1} = \frac{-4}{2} = -2$.

$\mathrm{e}^2\times\mathrm{e}^3$ est égal à :

$\mathrm{e}^a\mathrm{e}^b = \mathrm{e}^{a + b}$.

La dérivée de $f(x) = x^3 - 2x$ est :

$(x^3)' = 3x^2$ et $(2x)' = 2$.

$(u_n)$ est arithmétique, $u_0 = 5$ et de raison $3$. Alors $u_{10}$ vaut :

$u_{10} = 5 + 10\times3 = 35$.

$\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)$ est égal à :

Valeur remarquable du cercle trigonométrique.

$P(A) = 0{,}4$ et $P_A(B) = 0{,}5$. Alors $P(A \cap B)$ est égal à :

$P(A \cap B) = P(A)\times P_A(B) = 0{,}4\times0{,}5$.

La médiane de la série $3 ; 7 ; 8 ; 10 ; 12 ; 15$ est :

Six valeurs rangées : moyenne des 3^e et 4^e, $\frac{8 + 10}{2} = 9$.

Deuxième partie (14 points)

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = -2x^2 + 8x - 6$.

Vérifier que pour tout réel $x$, $f(x) = -2(x - 1)(x - 3)$.
Résoudre l'équation $f(x) = 0$, puis dresser le tableau de signes de $f$.
Montrer que pour tout réel $x$, $f(x) = -2(x - 2)^2 + 2$. En déduire le maximum de $f$ et la valeur en laquelle il est atteint.
Dresser le tableau de variations de $f$.

$-2(x - 1)(x - 3) = -2(x^2 - 4x + 3) = -2x^2 + 8x - 6 = f(x)$.
Un produit est nul si l'un des facteurs l'est : $x = 1$ ou $x = 3$. Comme $a = -2 < 0$, $f(x)$ est négatif sur $]-\infty\,;\,1[$ et $]3\,;\,+\infty[$, positif sur $]1\,;\,3[$, nul en 1 et 3.
$-2(x - 2)^2 + 2 = -2(x^2 - 4x + 4) + 2 = -2x^2 + 8x - 6 = f(x)$. Comme $(x - 2)^2 \geqslant 0$, $f(x) \leqslant 2$ et $f(2) = 2$ : le maximum est 2, atteint en $x = 2$.
$f$ est croissante sur $]-\infty\,;\,2]$ et décroissante sur $[2\,;\,+\infty[$, avec $f(2) = 2$.

Une association compte 100 adhérents en 2025. Chaque année, 20 % des adhérents ne renouvellent pas leur adhésion et 40 nouvelles personnes adhèrent. On note $u_n$ le nombre d'adhérents en l'année $2025 + n$ : $u_0 = 100$ et $u_{n+1} = 0{,}8\,u_n + 40$.

Calculer $u_1$ et $u_2$.
On pose $v_n = u_n - 200$. Montrer que $(v_n)$ est géométrique ; préciser sa raison et son premier terme.
En déduire l'expression de $v_n$, puis que $u_n = 200 - 100\times0{,}8^n$.
Déterminer le sens de variation de $(u_n)$.
Recopier et compléter la fonction Python ci-dessous pour qu'elle renvoie la première année où l'association dépasse 190 adhérents.
```
def seuil():
    u = 100
    n = 0
    while ........ :
        u = ........
        n = n + 1
    return 2025 + n
```

$u_1 = 0{,}8\times100 + 40 = 120$ ; $u_2 = 0{,}8\times120 + 40 = 136$.
$v_{n+1} = u_{n+1} - 200 = 0{,}8u_n + 40 - 200 = 0{,}8u_n - 160 = 0{,}8(u_n - 200) = 0{,}8\,v_n$ : géométrique de raison $0{,}8$, de premier terme $v_0 = 100 - 200 = -100$.
$v_n = -100\times0{,}8^n$, donc $u_n = v_n + 200 = 200 - 100\times0{,}8^n$.
$u_{n+1} - u_n = -100\times0{,}8^{n+1} + 100\times0{,}8^n = 100\times0{,}8^n(1 - 0{,}8) = 20\times0{,}8^n > 0$ : la suite est croissante.
while u <= 190 : et u = 0.8 * u + 40. (La fonction renvoie 2036 : $u_{11} \approx 191{,}4$.)

Une usine fabrique des pièces sur deux machines. La machine A produit 60 % des pièces, la machine B le reste. 5 % des pièces produites par A sont défectueuses, contre 10 % pour B. On choisit une pièce au hasard ; on note $A$, $B$ et $D$ les événements « la pièce vient de A », « … de B » et « la pièce est défectueuse ».

Représenter la situation par un arbre pondéré.
Calculer $P(A \cap D)$, puis montrer que $P(D) = 0{,}07$.
La pièce est défectueuse. Quelle est la probabilité qu'elle vienne de la machine A ? (Donner le résultat sous forme de fraction.)
Une pièce non défectueuse rapporte 10 € ; une pièce défectueuse coûte 5 € (elle est détruite). On note $X$ le gain algébrique, en euros, pour une pièce. Donner la loi de $X$ et calculer $E(X)$. Interpréter.

Premier niveau : $A$ (0,6) et $B$ (0,4). Second niveau : depuis $A$, $D$ (0,05) et $\bar D$ (0,95) ; depuis $B$, $D$ (0,1) et $\bar D$ (0,9).
$P(A \cap D) = 0{,}6\times0{,}05 = 0{,}03$. $P(D) = P(A \cap D) + P(B \cap D) = 0{,}03 + 0{,}4\times0{,}1 = 0{,}03 + 0{,}04 = 0{,}07$.
$P_D(A) = \dfrac{P(A \cap D)}{P(D)} = \dfrac{0{,}03}{0{,}07} = \dfrac37$.
$X$ prend la valeur 10 avec la probabilité $0{,}93$ et $-5$ avec la probabilité $0{,}07$. $E(X) = 10\times0{,}93 - 5\times0{,}07 = 9{,}3 - 0{,}35 = 8{,}95$ : en moyenne, une pièce rapporte 8,95 €.