Accueil › Examens › Épreuve anticipée · sujet 2 (sans spécialité)
Sujet blanc Axiome · Baccalauréat général · Première

Mathématiques — épreuve anticipée

Candidats sans enseignement de spécialité mathématiques
Durée : 2 heures · Coefficient 2 · L'usage de la calculatrice n'est pas autorisé.
Première partie : 6 points · Deuxième partie : 14 points

Première partie : automatismes — QCM (6 points)

Pour chaque question, une seule réponse est possible. Aucune justification n'est demandée. Une réponse fausse ou l'absence de réponse n'enlève aucun point.

$\dfrac14 + \dfrac12$ est égal à :
$\frac14 + \frac24 = \frac34$.
$\dfrac25$, exprimé en pourcentage, est égal à :
$\frac25 = \frac{40}{100}$.
Un prix baisse de 20 %, puis augmente de 25 %. Globalement, le prix :
$0{,}8\times1{,}25 = 1$.
Pour tout réel $x$, $(x + 3)^2$ est égal à :
$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Sur l'intervalle $]3\,;\,+\infty[$, l'expression $-2x + 6$ est :
$-2x + 6 = 0$ pour $x = 3$ ; coefficient $-2 < 0$ : négatif à droite de 3.
La parabole d'équation $y = 2(x - 1)(x - 5)$ a pour axe de symétrie la droite d'équation :
Au milieu des racines 1 et 5.
$(u_n)$ est géométrique de premier terme $u_0 = 2$ et de raison 3. Alors $u_3$ vaut :
$2\times3^3 = 54$.
La médiane de la série $5 ; 2 ; 9 ; 7 ; 3$ est :
Série rangée : $2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9$, valeur du milieu : 5.

Deuxième partie (14 points)

Dans une population, 10 % des personnes sont porteuses d'un virus. On dispose d'un test : si la personne est porteuse, le test est positif dans 90 % des cas ; si elle n'est pas porteuse, il est positif dans 5 % des cas. On choisit une personne au hasard ; on note $V$ : « la personne est porteuse du virus » et $T$ : « le test est positif ».

  1. Recopier et compléter l'arbre pondéré : premier niveau $V$ et $\bar V$, second niveau $T$ et $\bar T$.
  2. Calculer $P(V \cap T)$ et $P(\bar V \cap T)$.
  3. En déduire que $P(T) = 0{,}135$.
  4. Une personne a un test positif. Montrer que la probabilité qu'elle soit porteuse du virus est $\frac23$.
  5. Un journal écrit : « Avec ce test, une personne testée positive a 90 % de chances d'être porteuse du virus. » Expliquer l'erreur.
  1. $P(V) = 0{,}1$, $P(\bar V) = 0{,}9$ ; $P_V(T) = 0{,}9$, $P_V(\bar T) = 0{,}1$ ; $P_{\bar V}(T) = 0{,}05$, $P_{\bar V}(\bar T) = 0{,}95$.
  2. $P(V \cap T) = 0{,}1\times0{,}9 = 0{,}09$ ; $P(\bar V \cap T) = 0{,}9\times0{,}05 = 0{,}045$.
  3. Formule des probabilités totales : $P(T) = 0{,}09 + 0{,}045 = 0{,}135$.
  4. $P_T(V) = \dfrac{P(V \cap T)}{P(T)} = \dfrac{0{,}09}{0{,}135} = \dfrac{90}{135} = \dfrac23$.
  5. Le journal confond $P_V(T) = 0{,}9$ (probabilité d'être positif quand on est porteur) et $P_T(V) = \frac23 \approx 0{,}67$ (probabilité d'être porteur quand on est positif). Un tiers des positifs sont des faux positifs.

Une entreprise fabrique et vend entre 0 et 16 centaines d'objets par mois. Son bénéfice mensuel, en milliers d'euros, pour $x$ centaines d'objets est modélisé par la fonction $B$ définie sur $[0\,;\,16]$ par $B(x) = -2(x - 3)(x - 13)$.

  1. Calculer $B(0)$ et interpréter le résultat.
  2. Montrer que pour tout $x$, $B(x) = -2x^2 + 32x - 78$.
  3. Déterminer les valeurs de $x$ pour lesquelles le bénéfice est nul.
  4. Dresser le tableau de signes de $B(x)$ sur $[0\,;\,16]$. Pour quelles quantités l'entreprise est-elle rentable ?
  5. Déterminer l'axe de symétrie de la parabole représentant $B$. En déduire la quantité à produire pour que le bénéfice soit maximal, et la valeur de ce bénéfice maximal.
  6. L'entreprise produit actuellement 1 200 objets par mois. Doit-elle augmenter ou diminuer sa production pour augmenter son bénéfice ? Justifier.
  1. $B(0) = -2\times(-3)\times(-13) = -78$ : sans production, l'entreprise perd 78 000 € par mois (charges fixes).
  2. $-2(x^2 - 13x - 3x + 39) = -2(x^2 - 16x + 39) = -2x^2 + 32x - 78$.
  3. $B(x) = 0 \iff x = 3$ ou $x = 13$ (produit nul).
  4. $a = -2 < 0$ : $B(x)$ est négatif sur $[0\,;\,3[$ et $]13\,;\,16]$, positif sur $]3\,;\,13[$. L'entreprise est rentable entre 300 et 1 300 objets par mois.
  5. Axe : $x = \frac{3 + 13}{2} = 8$. Comme $a < 0$, le maximum est atteint en $x = 8$ : $B(8) = -2\times5\times(-5) = 50$. Bénéfice maximal : 50 000 € pour 800 objets.
  6. $x = 12$ se situe après le sommet ($x = 8$), dans la zone où $B$ décroît : l'entreprise doit diminuer sa production (jusqu'à 800 objets) pour augmenter son bénéfice. Vérification : $B(12) = -2\times9\times(-1) = 18 < 50$.