Sujet blanc Axiome · Baccalauréat général · Première

Mathématiques — épreuve anticipée

Candidats sans enseignement de spécialité mathématiques
Durée : 2 heures · Coefficient 2 · L'usage de la calculatrice n'est pas autorisé.
Première partie : 6 points · Deuxième partie : 14 points

Première partie : automatismes — QCM (6 points)

Pour chaque question, une seule réponse est possible. Aucune justification n'est demandée. Une réponse fausse ou l'absence de réponse n'enlève aucun point.

Le nombre $\dfrac34$ est égal à :

$3 \div 4 = 0{,}75$.

15 % de 80 est égal à :

$0{,}15\times80 = 12$.

Un article coûte 40 €. Son prix augmente de 10 %, puis encore de 10 %. Son prix final est :

$40\times1{,}1\times1{,}1 = 40\times1{,}21 = 48{,}40$.

La solution de l'équation $2x + 3 = 11$ est :

$2x = 8$.

Les solutions de l'équation $(x - 2)(x + 5) = 0$ sont :

Produit nul : $x - 2 = 0$ ou $x + 5 = 0$.

Une droite passe par $A(0\,;\,1)$ et $B(2\,;\,7)$. Son coefficient directeur est :

$\frac{7 - 1}{2 - 0} = 3$.

La moyenne de la série $4 ; 8 ; 9 ; 11$ est :

$\frac{32}{4} = 8$.

Dans un lycée, sur 50 élèves internes, 20 pratiquent un sport en club. On choisit un élève interne au hasard. La probabilité qu'il pratique un sport en club est :

$\frac{20}{50} = 0{,}4$.

Deuxième partie (14 points)

Un club de sport compte 200 adhérents, répartis entre la natation et le tennis, mineurs ou majeurs. On sait que : 120 adhérents font de la natation ; 90 adhérents sont mineurs ; parmi les nageurs, 60 sont mineurs.

Recopier et compléter le tableau suivant.
Mineurs Majeurs Total
Natation 60 120
Tennis
Total 90 200
On choisit un adhérent au hasard. On note $N$ : « l'adhérent fait de la natation » et $M$ : « l'adhérent est mineur ». Calculer $P(N)$ et $P(M)$ sous forme de fractions.
Décrire par une phrase l'événement $N \cap M$ et calculer sa probabilité.
Calculer $P_N(M)$ et $P_M(N)$.
Les événements $N$ et $M$ sont-ils indépendants ? Justifier.

	Mineurs	Total
Natation	60	120
Tennis
Total	90	200

Natation : 60 mineurs, 60 majeurs, 120. Tennis : 30 mineurs, 50 majeurs, 80. Total : 90 mineurs, 110 majeurs, 200.
$P(N) = \frac{120}{200} = \frac35$ ; $P(M) = \frac{90}{200} = \frac{9}{20}$.
« L'adhérent fait de la natation et est mineur » : $P(N \cap M) = \frac{60}{200} = \frac{3}{10}$.
$P_N(M) = \frac{60}{120} = \frac12$ ; $P_M(N) = \frac{60}{90} = \frac23$.
$P(N)\times P(M) = \frac35\times\frac{9}{20} = \frac{27}{100} \neq \frac{3}{10} = P(N \cap M)$ : les événements ne sont pas indépendants (de même, $P_N(M) = \frac12 \neq \frac{9}{20} = P(M)$).

En 2026, Inès dispose de 5 000 €. Elle hésite entre deux placements.

A — Premier placement. Le capital augmente chaque année de 150 €. On note $a_n$ le capital disponible en l'année $2026 + n$ ; $a_0 = 5\,000$.

Calculer $a_1$ et $a_2$.
Exprimer $a_{n+1}$ en fonction de $a_n$ ; en déduire la nature de la suite $(a_n)$ et sa raison.
Exprimer $a_n$ en fonction de $n$, puis calculer $a_{10}$.

B — Second placement. Le capital augmente chaque année de 2,5 %. On note $b_n$ le capital en l'année $2026 + n$ ; $b_0 = 5\,000$.

Détailler le calcul qui donne $b_1 = 5\,125$.
Exprimer $b_{n+1}$ en fonction de $b_n$ ; en déduire la nature de la suite $(b_n)$ et sa raison.
Exprimer $b_n$ en fonction de $n$.
L'extrait de tableur ci-dessous donne les capitaux arrondis à l'euro. À partir de quelle année le placement B devient-il plus intéressant que le placement A ?
$n$ 0 4 8 12 13 14 15 16 17
$a_n$ 5 000 5 600 6 200 6 800 6 950 7 100 7 250 7 400 7 550
$b_n$ 5 000 5 519 6 092 6 724 6 893 7 065 7 241 7 423 7 608
Justifier sans calcul que, à long terme, le placement B finira toujours par être le plus avantageux.

$n$	0	4	8	12	13	14	15	16	17
$a_n$	5 000	5 600	6 200	6 800	6 950	7 100	7 250	7 400	7 550
$b_n$	5 000	5 519	6 092	6 724	6 893	7 065	7 241	7 423	7 608

$a_1 = 5\,150$ ; $a_2 = 5\,300$.
$a_{n+1} = a_n + 150$ : suite arithmétique de raison 150.
$a_n = 5\,000 + 150n$ ; $a_{10} = 6\,500$.
Une hausse de 2,5 % revient à multiplier par $1{,}025$ : $b_1 = 5\,000\times1{,}025 = 5\,000 + 125 = 5\,125$.
$b_{n+1} = 1{,}025\,b_n$ : suite géométrique de raison $1{,}025$.
$b_n = 5\,000\times1{,}025^n$.
D'après le tableau, $b_n < a_n$ jusqu'à $n = 15$ ($b_{15} \approx 7\,241 < 7\,250 = a_{15}$), et $b_{16} \approx 7\,423 > 7\,400 = a_{16}$ : le placement B devient plus intéressant à partir de 2042 ($n = 16$).
Une suite géométrique de raison supérieure à 1 (croissance exponentielle) finit toujours par dépasser une suite arithmétique (croissance linéaire) : chaque année, B rapporte 2,5 % d'un capital de plus en plus grand, alors que A rapporte toujours 150 €.