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Sujet blanc Axiome · Baccalauréat général · Terminale

Mathématiques — épreuve de spécialité

Durée : 4 heures · L'usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé.
Le sujet comporte quatre exercices indépendants, notés sur 20 points au total.

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

  1. $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\frac{2n^2 - 3}{n^2 + 1} = 2$.
  2. La fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \mathrm{e}^{-x^2}$ est convexe sur $\mathbb{R}$.
  3. $\displaystyle\int_0^1 x\,\mathrm{e}^{x}\,\mathrm{d}x = 1$.
  4. Le nombre de mots de 4 lettres distinctes que l'on peut former avec les lettres du mot MATHS est $625$.
  5. La fonction $y(x) = 2\mathrm{e}^{2x} - 2$ est l'unique solution de l'équation différentielle $y' = 2y + 4$ vérifiant $y(0) = 0$.
  1. Vrai : $\dfrac{2n^2 - 3}{n^2 + 1} = \dfrac{2 - \frac{3}{n^2}}{1 + \frac{1}{n^2}} \to 2$.
  2. Faux : $f''(x) = (4x^2 - 2)\,\mathrm{e}^{-x^2}$ est strictement négatif pour $|x| < \frac{1}{\sqrt2}$, par exemple $f''(0) = -2 < 0$ : $f$ n'est pas convexe sur $\mathbb{R}$.
  3. Vrai : par intégration par parties avec $u = x$, $v' = \mathrm{e}^x$ : $\big[x\mathrm{e}^x\big]_0^1 - \int_0^1 \mathrm{e}^x\,\mathrm{d}x = \mathrm{e} - (\mathrm{e} - 1) = 1$. (Ou : $x \mapsto (x - 1)\mathrm{e}^x$ est une primitive.)
  4. Faux : il s'agit de 4-uplets d'éléments distincts d'un ensemble à 5 éléments : $5\times4\times3\times2 = 120$. ($625 = 5^4$ compte les mots avec répétitions.)
  5. Vrai : les solutions de $y' = 2y + 4$ sont $y = C\mathrm{e}^{2x} - 2$ (solution constante $-\frac42 = -2$) ; $y(0) = C - 2 = 0$ donne $C = 2$. La solution vérifiant une condition initiale est unique.

Un jeu consiste à lancer un dé équilibré à six faces. Si le dé donne 6, le joueur gagne 6 € ; s'il donne 4 ou 5, il ne gagne rien ; s'il donne 1, 2 ou 3, il perd 1 €. On note $X$ le gain algébrique pour une partie.

  1. Donner la loi de $X$, puis montrer que $E(X) = 0{,}5$ et $V(X) = 6{,}25$.
  2. Un joueur fait 100 parties indépendantes. On note $S$ la somme de ses gains. Calculer $E(S)$ et $V(S)$, puis l'écart type $\sigma(S)$.
  3. À l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, montrer que $P\big(|S - 50| \geqslant 50\big) \leqslant 0{,}25$. Interpréter.
  4. On note $M_n$ le gain moyen par partie sur $n$ parties indépendantes. Déterminer une valeur de $n$ à partir de laquelle, d'après l'inégalité de concentration, la probabilité que le gain moyen s'écarte de $0{,}5$ d'au moins $0{,}5$ est inférieure à $0{,}05$.
  1. $P(X = 6) = \frac16$, $P(X = 0) = \frac26$, $P(X = -1) = \frac36$. $E(X) = \frac{6}{6} - \frac36 = 0{,}5$. $E(X^2) = \frac{36}{6} + \frac36 = 6{,}5$ et $V(X) = E(X^2) - E(X)^2 = 6{,}5 - 0{,}25 = 6{,}25$.
  2. Linéarité : $E(S) = 100\times0{,}5 = 50$. Parties indépendantes : $V(S) = 100\times6{,}25 = 625$, $\sigma(S) = 25$.
  3. $P(|S - E(S)| \geqslant \delta) \leqslant \frac{V(S)}{\delta^2}$ avec $\delta = 50$ : $\frac{625}{2500} = 0{,}25$. Il y a au moins 75 % de chances que le gain total soit strictement compris entre 0 et 100 €.
  4. $P(|M_n - 0{,}5| \geqslant 0{,}5) \leqslant \frac{V(X)}{n\times0{,}5^2} = \frac{6{,}25}{0{,}25n} = \frac{25}{n}$. $\frac{25}{n} \leqslant 0{,}05 \iff n \geqslant 500$.

Dans un repère orthonormé de l'espace, on considère les points $A(1\,;\,0\,;\,2)$, $B(2\,;\,1\,;\,0)$, $C(0\,;\,2\,;\,1)$ et $D(3\,;\,3\,;\,3)$.

  1. Montrer que les points $A$, $B$, $C$ définissent un plan.
  2. Montrer que $\vec n(1\,;\,1\,;\,1)$ est normal au plan $(ABC)$, puis déterminer une équation cartésienne de ce plan.
  3. Calculer $AB$, $AC$ et $BC$. Quelle est la nature du triangle $ABC$ ? Calculer son aire (on admet que l'aire d'un triangle équilatéral de côté $a$ vaut $\frac{\sqrt3}{4}a^2$).
  4. Donner une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ passant par $D$ et orthogonale au plan $(ABC)$, puis déterminer les coordonnées du point $H$, intersection de $\Delta$ et de $(ABC)$.
  5. Calculer la distance $DH$, puis le volume du tétraèdre $ABCD$.
  1. $\overrightarrow{AB}(1\,;\,1\,;\,-2)$ et $\overrightarrow{AC}(-1\,;\,2\,;\,-1)$ ne sont pas colinéaires (les premières coordonnées imposeraient un coefficient $-1$, mais $1\times(-1) \neq 2$) : $A$, $B$, $C$ ne sont pas alignés.
  2. $\vec n\cdot\overrightarrow{AB} = 1 + 1 - 2 = 0$ et $\vec n\cdot\overrightarrow{AC} = -1 + 2 - 1 = 0$ : $\vec n$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan. Équation $x + y + z + d = 0$ ; avec $A$ : $3 + d = 0$, donc $x + y + z - 3 = 0$.
  3. $AB = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt6$, $AC = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt6$, $\overrightarrow{BC}(-2\,;\,1\,;\,1)$ donc $BC = \sqrt6$ : triangle équilatéral de côté $\sqrt6$, d'aire $\frac{\sqrt3}{4}\times6 = \frac{3\sqrt3}{2}$.
  4. $\Delta : x = 3 + t,\ y = 3 + t,\ z = 3 + t$. Dans l'équation du plan : $9 + 3t - 3 = 0 \iff t = -2$, donc $H(1\,;\,1\,;\,1)$.
  5. $\overrightarrow{DH}(-2\,;\,-2\,;\,-2)$, $DH = \sqrt{12} = 2\sqrt3$. $V = \frac13\times\frac{3\sqrt3}{2}\times2\sqrt3 = \frac13\times9 = 3$ unités de volume.

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 0$ et $u_{n+1} = \sqrt{2 + u_n}$ pour tout entier naturel $n$.

  1. Calculer $u_1$ et $u_2$ (valeurs exactes).
  2. Démontrer par récurrence que pour tout $n$, $0 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 2$.
  3. En déduire que la suite converge vers une limite $\ell$ ; on admet que $\ell$ vérifie $\ell = \sqrt{2 + \ell}$. Déterminer $\ell$.
  4. Écrire une fonction Python seuil(p) qui renvoie le plus petit entier $n$ tel que $2 - u_n < p$. Que renvoie seuil(0.001) ?
  1. $u_1 = \sqrt2$, $u_2 = \sqrt{2 + \sqrt2}$.
  2. Soit $P(n)$ : « $0 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 2$ ». Initialisation : $0 \leqslant 0 \leqslant \sqrt2 \leqslant 2$. Hérédité : si $0 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 2$, alors $2 \leqslant 2 + u_n \leqslant 2 + u_{n+1} \leqslant 4$ ; la fonction racine carrée étant croissante, $\sqrt2 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_{n+2} \leqslant 2$, d'où $P(n + 1)$.
  3. $(u_n)$ est croissante et majorée par 2 : elle converge. $\ell = \sqrt{2 + \ell}$ avec $\ell \geqslant 0$ donne $\ell^2 - \ell - 2 = 0$, $(\ell - 2)(\ell + 1) = 0$, donc $\ell = 2$.
  4. from math import sqrt

def seuil(p):
    u, n = 0, 0
    while 2 - u >= p:
        u = sqrt(2 + u)
        n = n + 1
    return n
    seuil(0.001) renvoie 6 ($u_5 \approx 1{,}99759$ et $u_6 \approx 1{,}99940$).