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Sujet blanc Axiome · Baccalauréat général · Terminale

Mathématiques — épreuve de spécialité

Durée : 4 heures · L'usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé.
Le sujet comporte quatre exercices indépendants, notés sur 20 points au total.

Une usine produit des composants électroniques. 4 % d'entre eux sont défectueux. Un système de contrôle déclenche une alarme : pour un composant défectueux, l'alarme se déclenche dans 95 % des cas ; pour un composant sans défaut, elle se déclenche à tort dans 2 % des cas. On note $D$ : « le composant est défectueux » et $A$ : « l'alarme se déclenche ».

Partie A

  1. Représenter la situation par un arbre pondéré.
  2. Montrer que $P(A) = 0{,}0572$.
  3. L'alarme s'est déclenchée. Quelle est la probabilité que le composant soit réellement défectueux ? (Arrondir au millième.)

Partie B — On prélève au hasard un lot de 50 composants ; la production est assez grande pour assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise. On note $X$ le nombre de composants défectueux du lot.

  1. Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
  2. Calculer $P(X = 0)$ et $P(X \geqslant 3)$ (arrondir au millième), puis $E(X)$.
  3. Déterminer le nombre minimal $n$ de composants à prélever pour que la probabilité d'avoir au moins un composant défectueux soit supérieure ou égale à $0{,}99$.
  1. $P(D) = 0{,}04$, $P(\bar D) = 0{,}96$ ; $P_D(A) = 0{,}95$, $P_D(\bar A) = 0{,}05$ ; $P_{\bar D}(A) = 0{,}02$, $P_{\bar D}(\bar A) = 0{,}98$.
  2. $P(A) = P(D \cap A) + P(\bar D \cap A) = 0{,}04\times0{,}95 + 0{,}96\times0{,}02 = 0{,}038 + 0{,}0192 = 0{,}0572$.
  3. $P_A(D) = \dfrac{0{,}038}{0{,}0572} \approx 0{,}664$.
  4. On répète 50 fois, de façon indépendante, l'épreuve de Bernoulli « le composant est défectueux » (succès de probabilité $0{,}04$) : $X$ suit $\mathcal{B}(50\,;\,0{,}04)$.
  5. $P(X = 0) = 0{,}96^{50} \approx 0{,}130$ ; $P(X \geqslant 3) = 1 - P(X \leqslant 2) \approx 1 - 0{,}677 = 0{,}323$ ; $E(X) = 50\times0{,}04 = 2$.
  6. $1 - 0{,}96^n \geqslant 0{,}99 \iff 0{,}96^n \leqslant 0{,}01 \iff n\ln 0{,}96 \leqslant \ln 0{,}01 \iff n \geqslant \dfrac{\ln 0{,}01}{\ln 0{,}96} \approx 112{,}8$ (on divise par $\ln 0{,}96 < 0$). Donc $n = 113$.

$ABCDEFGH$ est un cube d'arête 1. On se place dans le repère orthonormé $\left(A\,;\,\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AE}\right)$.

  1. Donner les coordonnées des points $B$, $D$, $E$ et $G$.
  2. Montrer que le vecteur $\vec n(1\,;\,1\,;\,1)$ est normal au plan $(BDE)$, puis qu'une équation cartésienne de ce plan est $x + y + z - 1 = 0$.
  3. En déduire que la droite $(AG)$ est orthogonale au plan $(BDE)$. Donner une représentation paramétrique de $(AG)$.
  4. Déterminer les coordonnées du point $K$, intersection de la droite $(AG)$ et du plan $(BDE)$. En déduire la distance du point $A$ au plan $(BDE)$.
  5. Calculer le volume du tétraèdre $ABDE$ de deux façons, et vérifier la cohérence des résultats (on rappelle que $V = \frac13\times\text{aire de la base}\times\text{hauteur}$ ; le triangle $BDE$ est équilatéral).
  1. $B(1\,;\,0\,;\,0)$, $D(0\,;\,1\,;\,0)$, $E(0\,;\,0\,;\,1)$, $G(1\,;\,1\,;\,1)$.
  2. $\overrightarrow{BD}(-1\,;\,1\,;\,0)$ et $\overrightarrow{BE}(-1\,;\,0\,;\,1)$ ne sont pas colinéaires ; $\vec n\cdot\overrightarrow{BD} = -1 + 1 = 0$ et $\vec n\cdot\overrightarrow{BE} = -1 + 1 = 0$ : $\vec n$ est normal à $(BDE)$. Une équation est $x + y + z + d = 0$ ; $B$ appartient au plan donc $1 + d = 0$, $d = -1$.
  3. $\overrightarrow{AG}(1\,;\,1\,;\,1) = \vec n$ : $(AG)$ est dirigée par un vecteur normal au plan, elle lui est orthogonale. $(AG) : x = t,\ y = t,\ z = t$, $t \in \mathbb{R}$.
  4. $t + t + t - 1 = 0 \iff t = \frac13$ : $K\left(\frac13\,;\,\frac13\,;\,\frac13\right)$. $K$ est le projeté orthogonal de $A$ sur le plan : $AK = \sqrt{3\times\frac19} = \frac{\sqrt3}{3}$.
  5. Base $ABD$ (triangle rectangle d'aire $\frac12$), hauteur $AE = 1$ : $V = \frac13\times\frac12\times1 = \frac16$. Autre calcul : $BDE$ est équilatéral de côté $\sqrt2$, d'aire $\frac{\sqrt3}{4}\times2 = \frac{\sqrt3}{2}$, et la hauteur est $AK$ : $V = \frac13\times\frac{\sqrt3}{2}\times\frac{\sqrt3}{3} = \frac16$. Les deux résultats coïncident.

Partie A — Soit $g$ la fonction définie sur $]0\,;\,+\infty[$ par $g(x) = x^2 - 1 + \ln x$.

  1. Étudier les variations de $g$ sur $]0\,;\,+\infty[$.
  2. Calculer $g(1)$, puis en déduire le signe de $g(x)$ selon les valeurs de $x$.

Partie B — Soit $f$ la fonction définie sur $]0\,;\,+\infty[$ par $f(x) = x - \dfrac{\ln x}{x}$, et $\mathcal{C}$ sa courbe représentative.

  1. Déterminer les limites de $f$ en $0$ et en $+\infty$.
  2. Montrer que pour tout $x > 0$, $f'(x) = \dfrac{g(x)}{x^2}$. En déduire le tableau de variations de $f$.
  3. Étudier la position relative de $\mathcal{C}$ et de la droite $\Delta$ d'équation $y = x$.

Partie C

  1. Montrer que la fonction $H(x) = \dfrac{(\ln x)^2}{2}$ est une primitive de $x \mapsto \dfrac{\ln x}{x}$ sur $]0\,;\,+\infty[$.
  2. En déduire l'aire, en unités d'aire, du domaine compris entre $\mathcal{C}$, la droite $\Delta$ et les droites d'équations $x = 1$ et $x = \mathrm{e}$.
  1. $g'(x) = 2x + \frac1x > 0$ sur $]0\,;\,+\infty[$ : $g$ est strictement croissante.
  2. $g(1) = 0$. Comme $g$ est strictement croissante : $g(x) < 0$ sur $]0\,;\,1[$, $g(x) > 0$ sur $]1\,;\,+\infty[$.
  3. En $0^+$ : $\ln x \to -\infty$ et $\frac1x \to +\infty$, donc $\frac{\ln x}{x} \to -\infty$ et $f(x) \to +\infty$. En $+\infty$ : par croissance comparée $\frac{\ln x}{x} \to 0$, donc $f(x) \to +\infty$.
  4. $\left(\frac{\ln x}{x}\right)' = \frac{\frac1x\times x - \ln x}{x^2} = \frac{1 - \ln x}{x^2}$, donc $f'(x) = 1 - \frac{1 - \ln x}{x^2} = \frac{x^2 - 1 + \ln x}{x^2} = \frac{g(x)}{x^2}$, du signe de $g(x)$ : $f$ est décroissante sur $]0\,;\,1]$, croissante sur $[1\,;\,+\infty[$, de minimum $f(1) = 1$.
  5. $f(x) - x = -\frac{\ln x}{x}$, du signe de $-\ln x$ : $\mathcal{C}$ est au-dessus de $\Delta$ sur $]0\,;\,1[$, en dessous sur $]1\,;\,+\infty[$, et elles se coupent au point $(1\,;\,1)$.
  6. $H'(x) = \frac12\times2\ln x\times\frac1x = \frac{\ln x}{x}$.
  7. Sur $[1\,;\,\mathrm{e}]$, $\Delta$ est au-dessus de $\mathcal{C}$ : l'aire vaut $\displaystyle\int_1^{\mathrm{e}}\big(x - f(x)\big)\,\mathrm{d}x = \int_1^{\mathrm{e}}\frac{\ln x}{x}\,\mathrm{d}x = H(\mathrm{e}) - H(1) = \frac12 - 0 = \frac12$ u.a.

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = \dfrac{u_n}{1 + u_n}$.

  1. Calculer $u_1$ et $u_2$.
  2. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $u_n > 0$.
  3. Montrer que la suite $(u_n)$ est décroissante. En déduire qu'elle converge.
  4. On pose $v_n = \dfrac{1}{u_n}$. Montrer que $(v_n)$ est arithmétique, puis exprimer $v_n$ et $u_n$ en fonction de $n$. En déduire la limite de $(u_n)$.
  1. $u_1 = \frac{1}{2}$, $u_2 = \dfrac{1/2}{3/2} = \frac13$.
  2. Initialisation : $u_0 = 1 > 0$. Hérédité : si $u_n > 0$, alors $1 + u_n > 0$ et $u_{n+1} = \frac{u_n}{1 + u_n} > 0$. Conclusion : $u_n > 0$ pour tout $n$.
  3. $u_{n+1} - u_n = \frac{u_n - u_n(1 + u_n)}{1 + u_n} = \frac{-u_n^2}{1 + u_n} < 0$ : la suite est décroissante. Décroissante et minorée par 0, elle converge.
  4. $v_{n+1} = \frac{1 + u_n}{u_n} = \frac{1}{u_n} + 1 = v_n + 1$ : arithmétique de raison 1 et $v_0 = 1$. Donc $v_n = n + 1$ et $u_n = \frac{1}{n + 1}$, qui tend vers 0.