Variation linéaire

Un abonnement qui augmente de 2 € par an, un compte rémunéré à intérêts simples, le niveau des océans qui monte de quelques millimètres chaque année : quand une grandeur varie toujours de la même quantité, on parle de croissance linéaire. Deux outils : les suites arithmétiques (étapes) et les fonctions affines (temps continu).

  • Reconnaître une croissance linéaire
  • Calculer un terme d'une suite arithmétique
  • Représenter une suite arithmétique ou une fonction affine
  • Résoudre un problème de seuil

Cours

1. Suites arithmétiques

Une suite $u$ est arithmétique de raison $r$ si, pour passer d'un terme au suivant, on ajoute toujours $r$ : $\;u(n + 1) = u(n) + r$ (relation de récurrence). On note aussi $u_n$ au lieu de $u(n)$.

$u(n) = u(0) + n\times r$ : on part de $u(0)$ et on ajoute $n$ fois la raison. Plus généralement, $u(n) = u(p) + (n - p)\,r$.

Si $r > 0$, la suite est croissante ; si $r < 0$, décroissante ; si $r = 0$, constante.

On place 2 000 € à 3 % d'intérêts simples : chaque année, on reçoit 3 % du capital initial, soit 60 €. Capital au bout de $n$ années : $C(n) = 2\,000 + 60n$. Au bout de 10 ans : $C(10) = 2\,600$ €.

  1. Calcule les différences entre termes consécutifs : $u(1) - u(0)$, $u(2) - u(1)$, …
  2. Si elles sont toutes égales à un même nombre $r$, la suite est arithmétique de raison $r$.
  3. Dans un énoncé : « augmente de … chaque année », « on ajoute … » indique une suite arithmétique.

2. Représentation graphique

Les points de coordonnées $\big(n\,;\,u(n)\big)$ d'une suite arithmétique sont alignés sur la droite d'équation $y = rx + u(0)$ : la raison est le coefficient directeur, le premier terme est l'ordonnée à l'origine. Une suite arithmétique est la version « en escalier » d'une fonction affine.

3. Fonctions affines

Une fonction $f$ définie par $f(x) = ax + b$ est affine. Sa courbe est une droite de coefficient directeur $a$ et d'ordonnée à l'origine $b$. Quand $x$ augmente de 1, $f(x)$ augmente de $a$ : le taux d'accroissement est constant, $$\frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} = a.$$

  1. Calcule $a = \dfrac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$.
  2. Calcule $b$ en remplaçant : $f(x_1) = ax_1 + b$.

Celsius → Fahrenheit : 0 °C = 32 °F et 100 °C = 212 °F. $a = \frac{212 - 32}{100 - 0} = 1{,}8$ et $b = 32$ : $F = 1{,}8\,C + 32$. Ainsi 37 °C correspondent à $98{,}6$ °F.

La demande d'un produit baisse quand le prix $p$ augmente : $D(p) = 500 - 20p$ ; l'offre augmente : $O(p) = 30p$. Le prix d'équilibre vérifie $D(p) = O(p)$ : $500 - 20p = 30p \iff p = 10$ €, pour 300 unités échangées.

L'impôt se calcule par tranches : chaque tranche de revenu est taxée à son propre taux (le taux marginal). La fonction « impôt » est affine par morceaux, de plus en plus pentue. Le taux moyen (impôt divisé par revenu) reste inférieur au taux marginal de la dernière tranche.

4. Problèmes de seuil

  1. Écris l'inéquation : $u(0) + nr > S$ (ou $< S$).
  2. Isole $n$ : $n > \dfrac{S - u(0)}{r}$ si $r > 0$ (attention : si on divise par $r < 0$, le sens change).
  3. $n$ est un entier : prends le premier entier qui convient, et interprète (année, mois…).

Un abonnement coûte 180 € en 2026 et augmente de 7 € par an. Quand dépasse-t-il 250 € ? $180 + 7n > 250 \iff n > 10$ : pour $n = 11$, c'est-à-dire en 2037. (Pour $n = 10$, il vaut exactement 250 €.)

u = 180      # prix en 2026
annee = 2026
while u <= 250:
    u = u + 7
    annee = annee + 1
print(annee, u)

Mini-jeux

Exercices

$u$ est arithmétique, $u(0) = 45$ et $r = -3$. Calculer $u(1)$, $u(10)$ et $u(15)$. La suite est-elle croissante ?

$u(1) = 42$, $u(10) = 45 - 30 = 15$, $u(15) = 0$. Raison négative : la suite est décroissante.

Les termes $5 ; 8{,}5 ; 12 ; 15{,}5$ peuvent-ils être ceux d'une suite arithmétique ? Si oui, donner la raison et le terme suivant.

Différences : $3{,}5$ ; $3{,}5$ ; $3{,}5$ : oui, raison $3{,}5$. Terme suivant : $19$.

Le niveau moyen des océans monte d'environ 3,7 mm par an. On prend 0 mm en 2020. En quelle année la hausse dépassera-t-elle 10 cm si ce rythme se maintient ?

Année :

$3{,}7n > 100 \iff n > 27{,}03$ : $n = 28$, soit en 2048. (En réalité, le rythme s'accélère : le modèle linéaire sous-estime sans doute la hausse.)

Forfait A : 15 € par mois + 0,10 € par SMS. Forfait B : 25 € par mois, SMS illimités. Exprimer le coût de chaque forfait en fonction du nombre $x$ de SMS. À partir de combien de SMS le forfait B est-il plus avantageux ?

$A(x) = 15 + 0{,}1x$, $B(x) = 25$. $B < A \iff 25 < 15 + 0{,}1x \iff x > 100$ : à partir de 101 SMS.

Karim place 1 500 € à intérêts simples au taux annuel de 4 %. Sa sœur place 1 800 € au taux de 2 %. Au bout de combien d'années Karim aura-t-il plus que sa sœur ?

Karim : $1500 + 60n$ ; sa sœur : $1800 + 36n$. $1500 + 60n > 1800 + 36n \iff 24n > 300 \iff n > 12{,}5$ : au bout de 13 ans.