Modélisation quadratique

La trajectoire d'un ballon, l'arche d'un pont, un chiffre d'affaires qui augmente puis diminue quand le prix monte : ces phénomènes « montent puis descendent » (ou l'inverse). On les modélise par des fonctions polynômes du second degré, dont la courbe est une parabole.

  • Associer une parabole à son expression
  • Trouver l'axe de symétrie et le sommet
  • Trouver les racines avec la forme factorisée
  • Étudier le signe et le maximum ou le minimum

Cours

1. Fonctions polynômes de degré 2

Une fonction $f(x) = ax^2 + bx + c$, avec $a \neq 0$, est une fonction polynôme de degré 2. Sa courbe est une parabole :

  • si $a > 0$, elle est tournée vers le haut (« en U ») : la fonction a un minimum ;
  • si $a < 0$, elle est tournée vers le bas (« en ∩ ») : la fonction a un maximum.

La parabole a un axe de symétrie vertical, qui passe par son sommet $S$.

2. Les formes ax² et ax² + c

Pour $f(x) = ax^2 + c$ : la parabole est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées ($f(-x) = f(x)$), son sommet est $S(0\,;\,c)$. Pour $c = 0$ ($f(x) = ax^2$), le sommet est l'origine. Plus $|a|$ est grand, plus la parabole est « fermée ».

$f(x) = -2x^2 + 8$ : $a = -2 < 0$, parabole tournée vers le bas, maximum $8$ atteint en $x = 0$. Racines : $-2x^2 + 8 = 0 \iff x^2 = 4 \iff x = -2$ ou $x = 2$.

3. La forme factorisée a(x − x₁)(x − x₂)

Pour $f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$ :

  • les racines (solutions de $f(x) = 0$) sont $x_1$ et $x_2$ : un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul ;
  • l'axe de symétrie est la droite $x = \dfrac{x_1 + x_2}{2}$ (au milieu des racines) ;
  • le sommet a pour abscisse $\dfrac{x_1 + x_2}{2}$ et pour ordonnée $f\left(\dfrac{x_1 + x_2}{2}\right)$.

$f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$ (avec $x_1 < x_2$) est du signe de $a$ à l'extérieur des racines et du signe contraire entre les racines. On le retrouve avec un tableau de signes des deux facteurs.

  1. Lis les racines $x_1$ et $x_2$ (attention aux signes : $(x + 3)$ donne la racine $-3$).
  2. Calcule l'abscisse du sommet $\frac{x_1 + x_2}{2}$, puis son ordonnée en remplaçant dans $f$.
  3. Le signe de $a$ donne l'allure : minimum ($a > 0$) ou maximum ($a < 0$) au sommet.
  4. Conclus sur les variations et le signe.

$f(x) = -0{,}5(x + 1)(x - 5)$ : racines $-1$ et $5$ ; axe $x = 2$ ; sommet $f(2) = -0{,}5\times3\times(-3) = 4{,}5$ ; $a < 0$ : maximum $4{,}5$ en $x = 2$ ; $f$ croissante sur $]-\infty\,;\,2]$, décroissante sur $[2\,;\,+\infty[$ ; positive entre $-1$ et $5$.

4. Forme développée : trouver l'axe sans formule

  1. Résous $f(x) = c$, c'est-à-dire $ax^2 + bx = 0 \iff x(ax + b) = 0$ : les solutions sont $0$ et $-\frac ba$.
  2. Ces deux points de la parabole ont la même ordonnée $c$ : ils sont symétriques par rapport à l'axe.
  3. L'axe passe au milieu : $x = \dfrac{0 + \left(-\frac ba\right)}{2}$. On calcule ensuite l'ordonnée du sommet.

$f(x) = x^2 - 6x + 5$ : $f(x) = 5 \iff x(x - 6) = 0 \iff x = 0$ ou $x = 6$. Axe $x = 3$, sommet $S(3\,;\,f(3)) = (3\,;\,-4)$.

5. Exemples de modélisation

La hauteur (en m) d'un ballon lancé est $h(t) = -5t(t - 4)$, $t$ en secondes. Il retombe au sol pour $t = 4$ s ; hauteur maximale au milieu, $t = 2$ : $h(2) = -5\times2\times(-2) = 20$ m.

Un artisan vend $q = 200 - 10p$ objets au prix $p$ €. Chiffre d'affaires : $R(p) = p\,q = p(200 - 10p) = -10p(p - 20)$. Racines 0 et 20, maximum au milieu : $p = 10$ €, $R(10) = 1\,000$ €. Baisser ou augmenter le prix fait diminuer le chiffre d'affaires.

Mini-jeux

Exercices

Associer chaque fonction à sa parabole : $f(x) = 2x^2$ ; $\;g(x) = -x^2 + 3$ ; $\;h(x) = (x - 1)(x - 5)$. (a) parabole tournée vers le haut, coupant l'axe des abscisses en 1 et 5 ; (b) parabole de sommet l'origine, tournée vers le haut ; (c) parabole de sommet $(0\,;\,3)$, tournée vers le bas.

$f$ → (b) ; $g$ → (c) ; $h$ → (a).

Pour $f(x) = 2(x - 1)(x - 7)$ : donner les racines, l'axe de symétrie et les coordonnées du sommet.

Ordonnée du sommet :

Racines 1 et 7 ; axe $x = 4$ ; $f(4) = 2\times3\times(-3) = -18$ : $S(4\,;\,-18)$, minimum car $a = 2 > 0$.

Résoudre $(x + 2)(3 - x) > 0$ à l'aide d'un tableau de signes.

$x + 2 > 0 \iff x > -2$ ; $3 - x > 0 \iff x < 3$. Le produit est positif quand les deux facteurs ont le même signe : $x \in ]-2\,;\,3[$. (C'est $-(x + 2)(x - 3)$, avec $a = -1 < 0$ : positif entre les racines.)

Déterminer l'axe de symétrie et le sommet de la parabole d'équation $y = -x^2 + 4x + 1$ (en résolvant $f(x) = 1$).

$-x^2 + 4x + 1 = 1 \iff x(-x + 4) = 0 \iff x = 0$ ou $x = 4$. Axe $x = 2$, $f(2) = -4 + 8 + 1 = 5$ : sommet $(2\,;\,5)$, maximum.

Avec 40 m de clôture, on veut entourer un enclos rectangulaire le long d'un mur (le mur forme un côté). On note $x$ la largeur (les deux côtés perpendiculaires au mur). Montrer que l'aire vaut $A(x) = x(40 - 2x)$, puis trouver les dimensions qui rendent l'aire maximale.

Le côté parallèle au mur mesure $40 - 2x$, d'où $A(x) = x(40 - 2x) = -2x(x - 20)$. Racines 0 et 20, maximum au milieu : $x = 10$ m, soit un enclos de 10 m sur 20 m, d'aire 200 m².