Analyse de deux caractères
Les filles et les garçons choisissent-ils les mêmes spécialités ? Le niveau des océans monte-t-il régulièrement ? Pour répondre avec des chiffres, on croise deux caractères : dans un tableau, ou sur un graphique en nuage de points.
- Lire et compléter un tableau croisé d'effectifs
- Calculer des fréquences marginales et conditionnelles
- Représenter un nuage de points et son point moyen
- Utiliser un ajustement affine pour estimer
Cours
1. Deux caractères qualitatifs : le tableau croisé
Quand on étudie deux caractères qualitatifs sur une même population (par exemple « sexe » et « moyen de transport »), on range les effectifs dans un tableau croisé : chaque case donne l'effectif des individus ayant à la fois une modalité en ligne et une modalité en colonne. La dernière ligne et la dernière colonne donnent les totaux (effectifs marginaux).
| Vélo | Bus | Voiture | Total | |
|---|---|---|---|---|
| Filles | 30 | 90 | 80 | 200 |
| Garçons | 60 | 70 | 70 | 200 |
| Total | 90 | 160 | 150 | 400 |
Sur 400 lycéens : 30 filles viennent à vélo ; au total 90 élèves viennent à vélo.
- Fréquence d'une case par rapport à l'effectif total : $\frac{30}{400} = 7{,}5\,\%$ des élèves sont des filles venant à vélo.
- Fréquence marginale : $\frac{90}{400} = 22{,}5\,\%$ des élèves viennent à vélo.
- Fréquence conditionnelle : parmi les filles, $\frac{30}{200} = 15\,\%$ viennent à vélo ; parmi les cyclistes, $\frac{30}{90} \approx 33\,\%$ sont des filles.
- Repère la population de référence : les mots « parmi les… » ou « sachant que… » indiquent la ligne ou la colonne à laquelle se restreindre.
- Divise l'effectif de la case par le total de cette ligne ou de cette colonne (et non par l'effectif total).
« Parmi les filles, proportion de cyclistes » : ligne Filles, $\frac{30}{200}$. « Parmi les cyclistes, proportion de filles » : colonne Vélo, $\frac{30}{90}$. Ces deux nombres sont différents !
Pour comparer deux groupes de tailles différentes, on compare des fréquences conditionnelles, pas des effectifs. On les représente par des diagrammes en barres (une barre par groupe, découpée selon les modalités) ou des diagrammes circulaires.
2. Deux caractères quantitatifs : le nuage de points
Pour deux caractères numériques $x$ et $y$ mesurés sur les mêmes individus (ou aux mêmes dates), chaque individu donne un point $M_i(x_i\,;\,y_i)$ : l'ensemble forme un nuage de points. Le point moyen est $G(\bar x\,;\,\bar y)$ : ses coordonnées sont les moyennes des $x_i$ et des $y_i$.
- Additionne toutes les valeurs de $x$ et divise par le nombre de points : c'est $\bar x$.
- Fais de même avec les valeurs de $y$ : c'est $\bar y$.
Points $(1\,;\,3)$, $(2\,;\,5)$, $(4\,;\,6)$, $(5\,;\,10)$ : $\bar x = \frac{12}{4} = 3$, $\bar y = \frac{24}{4} = 6$, donc $G(3\,;\,6)$.
3. Ajustement affine
Si les points sont à peu près alignés, on les ajuste par une droite $y = ax + b$ : c'est un modèle simplifié de la relation entre $x$ et $y$. Plusieurs méthodes existent (aucune connaissance théorique n'est attendue) :
- au jugé : une droite passant « au milieu » du nuage, de préférence par le point moyen $G$ ;
- droite de Mayer : on coupe le nuage en deux groupes ; la droite passe par les points moyens $G_1$ et $G_2$ de chaque groupe ;
- droite des moindres carrés, donnée par la calculatrice ou le tableur (fonction DROITEREG, ou « courbe de tendance linéaire » d'un graphique).
- Écris l'équation de la droite d'ajustement.
- Remplace $x$ par la valeur voulue (ou résous $ax + b = y$ si on cherche $x$).
- Dis s'il s'agit d'une interpolation ($x$ entre la plus petite et la plus grande valeur observée : estimation fiable) ou d'une extrapolation ($x$ en dehors : on suppose que la tendance se poursuit, ce qui peut être faux).
Niveau moyen des océans : l'ajustement $y = 3{,}4x + 2$ ($x$ en années depuis 1993, $y$ en mm) donne en 2030 ($x = 37$) : $3{,}4\times37 + 2 \approx 128$ mm. C'est une extrapolation ; les mesures récentes montrent d'ailleurs une accélération.
Deux grandeurs peuvent évoluer ensemble sans que l'une soit la cause de l'autre : le nombre de téléphones portables et l'espérance de vie ont augmenté ensemble dans le monde, mais c'est le développement économique qui explique les deux.
Mini-jeux
Exercices
Dans une entreprise de 250 salariés, 140 sont des femmes. 60 salariés sont cadres, dont 25 femmes. Compléter le tableau croisé (sexe / cadre ou non), puis calculer la proportion de cadres parmi les femmes et parmi les hommes.
Femmes : 25 cadres, 115 non cadres (total 140). Hommes : 35 cadres, 75 non cadres (total 110). Parmi les femmes : $\frac{25}{140} \approx 17{,}9\,\%$ ; parmi les hommes : $\frac{35}{110} \approx 31{,}8\,\%$.
Avec le tableau « Vélo / Bus / Voiture » du cours : quelle proportion des garçons vient en bus ? Quelle proportion des élèves venant en voiture sont des garçons ?
Garçons en bus (en %) :
$\frac{70}{200} = 35\,\%$ des garçons viennent en bus. Parmi les 150 élèves venant en voiture, $\frac{70}{150} \approx 46{,}7\,\%$ sont des garçons.
Le chiffre d'affaires (en milliers d'euros) d'une boutique en ligne sur 5 ans : année 1 : 40 ; 2 : 46 ; 3 : 55 ; 4 : 59 ; 5 : 65. Calculer les coordonnées du point moyen $G$. On propose l'ajustement $y = 6{,}4x + b$ passant par $G$ : calculer $b$ et estimer le chiffre d'affaires de l'année 7.
$\bar x = 3$, $\bar y = \frac{265}{5} = 53$ : $G(3\,;\,53)$. $53 = 6{,}4\times3 + b$ donc $b = 33{,}8$. Année 7 : $6{,}4\times7 + 33{,}8 = 78{,}6$ milliers d'euros (extrapolation).
Points : $(1\,;\,2)$, $(2\,;\,4)$, $(3\,;\,5)$, $(4\,;\,8)$, $(5\,;\,9)$, $(6\,;\,12)$. Calculer $G_1$ (trois premiers points) et $G_2$ (trois derniers), puis l'équation de la droite de Mayer.
$G_1\left(2\,;\,\frac{11}{3}\right)$, $G_2\left(5\,;\,\frac{29}{3}\right)$. Coefficient directeur $\frac{29/3 - 11/3}{5 - 2} = \frac{6}{3} = 2$. $\frac{11}{3} = 2\times2 + b$ donc $b = -\frac13$ : $y = 2x - \frac13$.
Un article affirme : « Dans les villes où il y a le plus de pompiers, il y a le plus d'incendies. Il faut donc réduire le nombre de pompiers. » Qu'en penser ?
La corrélation est réelle, mais la causalité est inversée (ou due à un facteur caché) : les grandes villes ont à la fois plus d'incendies et plus de pompiers, à cause de leur population. Réduire le nombre de pompiers n'éviterait aucun incendie !