∑ Formulaire de Première sans spécialité
Les formules à connaître pour l'épreuve anticipée de mathématiques (candidats sans spécialité), regroupées par thème.
Pourcentages et évolutions
| Proportion | $p = \dfrac{n_A}{N}$ ; $p\,\%$ de $N$ : $\dfrac{p}{100} \times N$ |
| Taux d'évolution | $t = \dfrac{V_A - V_D}{V_D}$ |
| Coefficient multiplicateur | $CM = 1 + t$ ; $V_A = V_D \times CM$ |
| Évolutions successives | $CM = CM_1 \times CM_2 \times \cdots \times CM_n$ |
| Évolution réciproque | $CM' = \dfrac{1}{CM}$ (baisse de $20\,\%$ compensée par une hausse de $25\,\%$) |
| Taux moyen sur $n$ périodes | $t_m = CM^{\frac1n} - 1$ |
| Indice (base 100) | $I = 100 \times \dfrac{V}{V_{\text{référence}}}$ |
Croissance linéaire : suites arithmétiques
| Définition | on ajoute la même quantité $r$ : $u_{n+1} = u_n + r$ |
| Terme général | $u_n = u_0 + nr$ |
| Représentation | points alignés sur une droite de coefficient directeur $r$ ; fonction affine $x \mapsto u_0 + rx$ |
Croissance exponentielle : suites géométriques
| Définition | on multiplie par le même nombre $q > 0$ : $u_{n+1} = q\,u_n$ |
| Terme général | $u_n = u_0 \times q^n$ |
| Hausse de $t\,\%$ par période | $q = 1 + \dfrac{t}{100}$ ; baisse : $q = 1 - \dfrac{t}{100}$ |
| Fonction $x \mapsto a^x$ ($a > 0$) | croissante si $a > 1$, décroissante si $0 < a < 1$ ; $a^{x+y} = a^xa^y$ |
| Comparaison | une croissance exponentielle finit toujours par dépasser une croissance linéaire |
Fonctions et droites
| Fonction affine | $f(x) = mx + p$ ; $m = \dfrac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$ |
| Parabole $y = ax^2$ | sommet à l'origine ; tournée vers le haut si $a > 0$ |
| $y = ax^2 + c$ | sommet $(0\,;\,c)$, axe de symétrie : l'axe des ordonnées |
| $y = a(x - x_1)(x - x_2)$ | racines $x_1$ et $x_2$ ; axe de symétrie $x = \dfrac{x_1 + x_2}{2}$ ; du signe de $a$ à l'extérieur des racines |
| Produit nul | $AB = 0 \iff A = 0$ ou $B = 0$ |
Deux caractères
| Point moyen | $G(\overline{x}\,;\,\overline{y})$ avec $\overline{x} = \dfrac{x_1 + \cdots + x_n}{n}$ |
| Ajustement affine | droite passant « au plus près » des points du nuage (souvent par $G$) |
| Estimation | interpolation (dans l'étendue des données) ; extrapolation (en dehors : prudence) |
| Fréquences conditionnelles | dans un tableau croisé : effectif d'une case ÷ total de sa ligne ou de sa colonne |
Statistiques
| Moyenne | $\overline{x} = \dfrac{n_1x_1 + \cdots + n_px_p}{N}$ |
| Médiane, quartiles | la médiane partage la série rangée en deux moitiés ; $Q_1$ et $Q_3$ en quarts |
Probabilités
| Événement contraire | $P(\overline{A}) = 1 - P(A)$ |
| Probabilité conditionnelle | $P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}$ ; $P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)$ |
| Arbre pondéré | probabilité d'un chemin = produit ; $P(B) = P(A \cap B) + P(\overline{A} \cap B)$ |
| Indépendance | $A$ et $B$ indépendants $\iff P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ |
| Répétition d'épreuves | $n$ épreuves indépendantes de succès $p$ : $P(\text{aucun succès}) = (1 - p)^n$ ; $P(\text{au moins un succès}) = 1 - (1 - p)^n$ |
| Test médical | sensibilité $= P_M(T)$ ; spécificité $= P_{\overline{M}}(\overline{T})$ ; valeur prédictive positive $= P_T(M)$ |