Les neuf thèmes d'étude
Le programme de Maths complémentaires est organisé autour de thèmes d'étude : des problèmes concrets (économie, biologie, physique, sciences sociales) qui mobilisent les notions du cours. Voici chaque thème, avec un problème type résolu et les outils à utiliser.
- Modéliser une situation réelle
- Choisir les bons outils du cours
- Interpréter les résultats avec esprit critique
- Programmer des simulations et des algorithmes
Les thèmes
1. Modèles définis par une fonction d'une variable
Exprimer une grandeur (distance, aire, volume, coût…) en fonction d'une variable, puis étudier la fonction obtenue : variations, extremums, équations. Outils : dérivée, continuité, TVI, convexité, fonctions de référence.
Dans une feuille carrée de 30 cm de côté, on découpe aux quatre coins des carrés de côté $x$ pour plier une boîte sans couvercle. Volume : $V(x) = x(30 - 2x)^2$ pour $x \in [0\,;\,15]$. $V'(x) = (30 - 2x)^2 - 4x(30 - 2x) = (30 - 2x)(30 - 6x)$, qui s'annule en $x = 5$ (et 15). $V$ croît sur $[0\,;\,5]$ puis décroît : volume maximal $V(5) = 5\times20^2 = 2\,000$ cm³.
En économie : coût total $C(q)$, coût marginal $C'(q)$ (coût de la dernière unité produite), coût moyen $\frac{C(q)}{q}$, minimal là où il est égal au coût marginal.
2. Modèles d'évolution
Modéliser un phénomène qui dépend du temps, de façon discrète (suite récurrente) ou continue (équation différentielle), et comparer les deux points de vue. Outils : suites géométriques et arithmético-géométriques, exponentielle, $y' = ay + b$, limites, méthode d'Euler.
Malthus : $N_{t+1} = 1{,}03\,N_t$, croissance exponentielle sans limite. Verhulst : $N_{t+1} = N_t + rN_t(K - N_t)$, la croissance ralentit quand la population approche la capacité $K$ du milieu (courbe en S, dite logistique). Version continue : $y' = ay(b - y)$.
3. Approche historique de la fonction logarithme
Comprendre comment le logarithme est né de besoins de calcul (astronomie, navigation) : mettre en regard une suite géométrique et une suite arithmétique transforme les produits en sommes. Deux visions : l'équation fonctionnelle $f(xy) = f(x) + f(y)$, et la quadrature de l'hyperbole (aire sous $y = \frac1x$).
| rang | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $2^n$ | 1 | 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 | 128 | 256 | 512 | 1024 |
Pour calculer $16\times64$, on additionne les rangs $4 + 6 = 10$ et on lit $1\,024$. C'est exactement $\ln(ab) = \ln a + \ln b$. L'aire sous l'hyperbole entre 1 et $x$ vaut $\int_1^x \frac{\mathrm{d}t}{t} = \ln x$ : elle aussi transforme produits en sommes.
4. Calculs d'aires
Calculer des aires par différentes méthodes : figures usuelles, approximations successives (Archimède, rectangles, trapèzes), Monte-Carlo, puis primitives. Outils : limites de suites, intégrale, primitives, probabilités.
Pour approcher $\int_a^b f$, on remplace la courbe par des segments : sur chaque intervalle de largeur $h$, l'aire du trapèze est $h\,\frac{f(x_i) + f(x_{i+1})}{2}$. Avec $n$ trapèzes, l'erreur diminue comme $\frac{1}{n^2}$ (bien plus vite que les rectangles, en $\frac1n$).
5. Répartition des richesses, inégalités
On range la population par revenus croissants. La courbe de Lorenz associe à la proportion $x$ des plus modestes la part $L(x)$ du revenu total qu'ils perçoivent. $L$ est croissante, convexe, avec $L(0) = 0$ et $L(1) = 1$, et sa courbe est sous la diagonale. L'indice de Gini mesure l'écart à l'égalité parfaite : $$G = 2\int_0^1 \big(x - L(x)\big)\,\mathrm{d}x = 1 - 2\int_0^1 L(x)\,\mathrm{d}x \in [0\,;\,1].$$
On modélise une répartition par $L(x) = x^2$. Alors $\int_0^1 x^2\,\mathrm{d}x = \frac13$ et $G = 1 - \frac23 = \frac13$. Avec $L(x) = x^3$ : $G = 1 - \frac24 = \frac12$, répartition plus inégalitaire.
6. Inférence bayésienne
On connaît la probabilité a priori $P(A)$ ; on observe $B$. La probabilité a posteriori est $$P_B(A) = \frac{P_A(B)\,P(A)}{P(B)}, \quad\text{avec } P(B) = P_A(B)P(A) + P_{\bar A}(B)P(\bar A).$$ Objectif majeur : ne pas confondre $P_B(A)$ et $P_A(B)$.
Une maladie touche 1 % de la population. Un test a une sensibilité de 99 % ($P_M(T) = 0{,}99$) et une spécificité de 95 % ($P_{\bar M}(\bar T) = 0{,}95$). Si le test est positif : $P(T) = 0{,}99\times0{,}01 + 0{,}05\times0{,}99 = 0{,}0594$ et $P_T(M) = \frac{0{,}0099}{0{,}0594} \approx 0{,}17$. Seulement 17 % des positifs sont malades : la maladie est rare, donc la plupart des positifs sont de faux positifs. C'est la valeur prédictive positive.
7. Répétition d'expériences, échantillonnage
Utiliser la loi binomiale pour prendre une décision à partir d'un échantillon : tester une pièce, contrôler une production, construire une fourchette de sondage. Si ce qu'on observe est très improbable dans le modèle supposé, on rejette le modèle.
Sur 100 lancers d'une pièce supposée équilibrée, $X \sim \mathcal{B}(100\,;\,0{,}5)$ et $P(40 \leqslant X \leqslant 60) \approx 0{,}965$. On obtient 66 « pile » : c'est en dehors de l'intervalle $[40\,;\,60]$, on rejette l'hypothèse d'équilibre au risque de 5 %. Avec 57 « pile », on ne peut pas conclure qu'elle est truquée.
Fourchette de sondage : si une proportion $p$ est estimée par la fréquence $f$ observée sur $n$ personnes, l'intervalle $\left[f - \frac{1}{\sqrt n}\,;\,f + \frac{1}{\sqrt n}\right]$ contient $p$ dans environ 95 % des sondages. Avec $n = 1\,000$ : $\pm 3$ points.
8. Temps d'attente
Modéliser des durées « sans mémoire » : loi géométrique (temps discret) ou exponentielle (temps continu) ; temps d'attente uniforme à un arrêt de bus. Désintégration radioactive, durée entre deux appels, durée de vie d'un composant électronique, crues.
Une crue « centennale » a chaque année la probabilité $\frac{1}{100}$ de se produire. Le rang $X$ de l'année de la prochaine crue suit la loi géométrique de paramètre $0{,}01$ : $E(X) = 100$ ans, mais $P(X \leqslant 10) = 1 - 0{,}99^{10} \approx 0{,}096$ : près d'une chance sur dix d'en subir une dans les 10 prochaines années !
Paradoxe de l'inspection : si les bus passent en moyenne toutes les 10 minutes, mais irrégulièrement, un voyageur arrivant au hasard attend en moyenne plus de 5 minutes, car il a plus de chances d'arriver pendant un long intervalle.
9. Corrélation et causalité
Évaluer la corrélation entre deux phénomènes (nuage de points, droite des moindres carrés, coefficient $r$), faire des estimations, et surtout distinguer corrélation et causalité. Exemples : loi d'Ohm, désintégration radioactive, concentration d'un médicament, réchauffement climatique, loi de Moore.
Extrapoler une tendance suppose que les causes restent les mêmes. Une droite ajustée sur 70 ans ne dit rien, à elle seule, du climat de 2100 : les projections du GIEC s'appuient sur des modèles physiques et des scénarios d'émissions, pas sur une simple régression.
Exercices
Le coût de production de $q$ tonnes est $C(q) = q^2 + 4q + 36$ (milliers d'euros). Déterminer le coût marginal $C'(q)$, puis la production qui minimise le coût moyen $\frac{C(q)}{q}$.
$C'(q) = 2q + 4$. $C_M(q) = q + 4 + \frac{36}{q}$, $C_M'(q) = 1 - \frac{36}{q^2}$, nul pour $q = 6$ : minimum $C_M(6) = 16$. On vérifie : $C'(6) = 16 = C_M(6)$.
L'urne A contient 3 boules rouges et 7 blanches, l'urne B 8 rouges et 2 blanches. On choisit une urne à pile ou face, puis on tire une boule : elle est rouge. Quelle est la probabilité qu'elle vienne de l'urne B ?
Réponse (fraction) :
$P(R) = \frac12\times\frac{3}{10} + \frac12\times\frac{8}{10} = \frac{11}{20}$. $P_R(B) = \dfrac{\frac12\times\frac{8}{10}}{\frac{11}{20}} = \dfrac{8}{11} \approx 0{,}73$.
Une répartition des revenus est modélisée par $L(x) = \dfrac{\mathrm{e}^{x} - 1}{\mathrm{e} - 1}$ sur $[0\,;\,1]$. Vérifier que $L(0) = 0$, $L(1) = 1$ et que $L$ est convexe, puis calculer l'indice de Gini.
$L(0) = 0$, $L(1) = 1$, $L''(x) = \frac{\mathrm{e}^x}{\mathrm{e} - 1} > 0$. $\int_0^1 L = \frac{1}{\mathrm{e} - 1}\big[\mathrm{e}^x - x\big]_0^1 = \frac{\mathrm{e} - 2}{\mathrm{e} - 1} \approx 0{,}418$. $G = 1 - 2\times0{,}418 \approx 0{,}16$.
Dans un sondage auprès de 900 personnes, 54 % disent vouloir voter pour le candidat A. Donner une fourchette de sondage au niveau 95 %. Peut-on affirmer que A sera élu ?
$\frac{1}{\sqrt{900}} = \frac{1}{30} \approx 0{,}033$ : $[0{,}507\,;\,0{,}573]$, soit entre environ 50,7 % et 57,3 %. L'intervalle est au-dessus de 50 %, mais ce n'est qu'une estimation au niveau 95 %, et un sondage peut être biaisé (échantillon non représentatif, réponses insincères, évolution de l'opinion) : on ne peut pas l'affirmer.