Lois discrètes

Lancer un dé, compter les succès parmi $n$ essais, attendre le premier succès : trois situations, trois lois de probabilité à reconnaître. Savoir les identifier permet de calculer immédiatement probabilités et espérances.

  • Reconnaître une loi uniforme, de Bernoulli, binomiale, géométrique
  • Utiliser les coefficients binomiaux et le triangle de Pascal
  • Calculer probabilités et espérances
  • Utiliser l'absence de mémoire

Cours

1. Loi uniforme sur {1, …, n}

$X$ suit la loi uniforme sur $\{1, 2, \dots, n\}$ si chaque valeur a la même probabilité : $P(X = k) = \dfrac1n$ pour $k = 1, \dots, n$. Exemple : le résultat d'un dé équilibré ($n = 6$).

Si $X$ suit la loi uniforme sur $\{1, \dots, n\}$, alors $E(X) = \dfrac{n + 1}{2}$.

$E(X) = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} k\times\frac1n = \frac1n(1 + 2 + \dots + n) = \frac1n\times\frac{n(n+1)}{2} = \frac{n+1}{2}$. $\blacksquare$

Pour un dé : $E(X) = \frac72 = 3{,}5$.

2. Loi de Bernoulli

Une épreuve de Bernoulli n'a que deux issues : succès (probabilité $p$) et échec ($1 - p$). La variable $X$ qui vaut 1 en cas de succès et 0 sinon suit la loi de Bernoulli de paramètre $p$.

Si $X$ suit la loi de Bernoulli de paramètre $p$ : $E(X) = p$, $V(X) = p(1 - p)$ et $\sigma(X) = \sqrt{p(1 - p)}$.

$E(X) = 0\times(1 - p) + 1\times p = p$.

$V(X) = (0 - p)^2(1 - p) + (1 - p)^2 p = p(1 - p)\big(p + (1 - p)\big) = p(1 - p)$, d'où $\sigma(X) = \sqrt{p(1 - p)}$. $\blacksquare$

3. Schéma de Bernoulli et loi binomiale

Un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$ est la répétition de $n$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes. On le représente par un arbre. Le nombre de chemins de l'arbre comportant exactement $k$ succès est le coefficient binomial $\dbinom{n}{k}$ (« $k$ parmi $n$ »).

$\dbinom{n}{0} = \dbinom{n}{n} = 1$ ; $\;\dbinom{n}{k} = \dbinom{n}{n - k}$ (symétrie) ; $\;\dbinom{n}{k} + \dbinom{n}{k + 1} = \dbinom{n + 1}{k + 1}$ (relation de Pascal, qui permet de construire le triangle ligne par ligne).

Le nombre $X$ de succès dans un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(n\,;\,p)$ : pour $k = 0, 1, \dots, n$, $$P(X = k) = \binom{n}{k}p^k(1 - p)^{n - k}.$$ Espérance et écart type (admis) : $E(X) = np$, $\;\sigma(X) = \sqrt{np(1 - p)}$.

Si $X$ suit $\mathcal{B}(n\,;\,p)$ avec $n \leqslant 3$, alors $E(X) = np$. (Cas $n = 3$ ; les cas $n = 1$ et $n = 2$ sont analogues.)

Pour $n = 3$, posons $q = 1 - p$ : $P(X = 0) = q^3$, $P(X = 1) = 3pq^2$, $P(X = 2) = 3p^2q$, $P(X = 3) = p^3$.

$E(X) = 0\times q^3 + 1\times3pq^2 + 2\times3p^2q + 3\times p^3 = 3p\left(q^2 + 2pq + p^2\right) = 3p(q + p)^2 = 3p\times1^2 = 3p$. $\blacksquare$

  1. Identifie l'épreuve répétée et ce qu'on appelle « succès » ; donne $p$.
  2. Vérifie que les répétitions sont identiques et indépendantes (tirages avec remise, ou population très grande), et donne leur nombre $n$.
  3. Conclus : « $X$, qui compte le nombre de succès, suit la loi $\mathcal{B}(n\,;\,p)$ ».
  4. Calcule : $P(X = k)$ avec la formule ; $P(X \leqslant k)$ ou $P(X \geqslant k)$ à la calculatrice ; « au moins un succès » : $1 - P(X = 0) = 1 - (1 - p)^n$.

On lance 100 fois une pièce censée être équilibrée : $X$ suit $\mathcal{B}(100\,;\,0{,}5)$. À la calculatrice, $P(40 \leqslant X \leqslant 60) \approx 0{,}965 \geqslant 0{,}95$. Si l'on obtient 70 « pile », on est hors de cet intervalle : on rejette l'hypothèse « pièce équilibrée » avec un risque d'erreur inférieur à 5 %.

4. Loi géométrique : attendre le premier succès

On répète une épreuve de Bernoulli de paramètre $p$ ($0 < p < 1$) jusqu'au premier succès. Le rang $X$ du premier succès suit la loi géométrique de paramètre $p$ : pour tout entier $k \geqslant 1$, $$P(X = k) = (1 - p)^{k-1}\,p \qquad (k - 1 \text{ échecs, puis un succès}).$$ On a $P(X > k) = (1 - p)^k$ (les $k$ premières épreuves sont des échecs) et $E(X) = \dfrac1p$ (admis).

On lance un dé jusqu'à obtenir 6 : $X$ suit la loi géométrique de paramètre $\frac16$. En moyenne, il faut $E(X) = 6$ lancers. $P(X > 10) = \left(\frac56\right)^{10} \approx 0{,}16$ : une fois sur six environ, il faut plus de 10 lancers !

Si $X$ suit la loi géométrique de paramètre $p$, alors pour tous entiers naturels $m$ et $n$ : $\;P_{X > m}(X > m + n) = P(X > n)$.

L'événement $\{X > m + n\}$ est inclus dans $\{X > m\}$, donc $\{X > m + n\} \cap \{X > m\} = \{X > m + n\}$. Ainsi : $$P_{X > m}(X > m + n) = \frac{P(X > m + n)}{P(X > m)} = \frac{(1 - p)^{m + n}}{(1 - p)^m} = (1 - p)^n = P(X > n). \quad\blacksquare$$

Interprétation : avoir déjà attendu $m$ fois ne rend pas le succès « plus probable » ensuite. Le programme admet que cette propriété caractérise la loi géométrique.

Mini-jeux

Exercices

Préciser la loi de $X$ (avec ses paramètres) : (a) $X$ = nombre de 6 obtenus en 10 lancers de dé ; (b) $X$ = numéro d'une carte tirée au hasard parmi 20 cartes numérotées de 1 à 20 ; (c) $X$ = nombre de tickets achetés jusqu'au premier ticket gagnant, sachant qu'un ticket sur 50 est gagnant ; (d) $X$ = 1 si une pièce tombe sur pile, 0 sinon.

(a) $\mathcal{B}(10\,;\,\frac16)$. (b) Uniforme sur $\{1, \dots, 20\}$. (c) Géométrique de paramètre $\frac{1}{50} = 0{,}02$ (en supposant un très grand nombre de tickets). (d) Bernoulli de paramètre $\frac12$.

Un QCM comporte 5 questions à 4 choix ; un élève répond au hasard. $X$ est le nombre de bonnes réponses. Calculer $P(X = 5)$, $P(X = 0)$ et $E(X)$.

$E(X) =$

$X \sim \mathcal{B}(5\,;\,0{,}25)$. $P(X = 5) = 0{,}25^5 \approx 0{,}001$ ; $P(X = 0) = 0{,}75^5 \approx 0{,}237$ ; $E(X) = 5\times0{,}25 = 1{,}25$.

Un composant a une probabilité $0{,}02$ d'être défectueux. Combien faut-il en tester, au minimum, pour que la probabilité d'en trouver au moins un défectueux dépasse $0{,}9$ ?

$1 - 0{,}98^n \geqslant 0{,}9 \iff 0{,}98^n \leqslant 0{,}1 \iff n \geqslant \dfrac{\ln 0{,}1}{\ln 0{,}98} \approx 113{,}97$ : au moins 114 composants.

Un joueur de basket réussit chaque lancer franc avec la probabilité $0{,}7$, indépendamment. $X$ est le rang de son premier échec. Quelle est la loi de $X$ ? Calculer $P(X = 3)$, $P(X > 4)$ et $E(X)$.

« Succès » = échec du lancer, de probabilité $0{,}3$ : $X$ suit la loi géométrique de paramètre $0{,}3$. $P(X = 3) = 0{,}7^2\times0{,}3 = 0{,}147$ ; $P(X > 4) = 0{,}7^4 \approx 0{,}24$ ; $E(X) = \frac{1}{0{,}3} \approx 3{,}33$.

Une compagnie vend 208 billets pour un avion de 200 places ; chaque passager se présente avec la probabilité $0{,}96$, indépendamment. $X$ est le nombre de passagers présents. Quelle est la loi de $X$ ? Sachant (calculatrice) que $P(X \leqslant 200) \approx 0{,}59$, commenter. Quel risque la compagnie prend-elle ?

$X \sim \mathcal{B}(208\,;\,0{,}96)$, $E(X) \approx 199{,}7$. Avec une probabilité $\approx 0{,}41$, plus de 200 passagers se présentent : la compagnie devra alors indemniser des passagers refusés. C'est un pari : les places vides coûtent aussi de l'argent. Pour réduire ce risque, elle vendrait moins de billets : le plus grand $n$ tel que $P(X \leqslant 200) \geqslant 0{,}95$ est $n = 204$ (calculatrice).