Lois à densité

Un temps d'attente, une durée de vie, une position au hasard sur un segment : ces variables prennent toutes les valeurs d'un intervalle. La probabilité de chaque valeur isolée est nulle ; on calcule alors la probabilité d'un intervalle, comme une aire sous une courbe.

Reconnaître une densité de probabilité
Calculer une probabilité comme une intégrale
Utiliser la loi uniforme et la loi exponentielle
Calculer une espérance

Cours

1. Densité et fonction de répartition

Une densité sur un intervalle $I$ est une fonction $f$ continue (éventuellement par morceaux), positive sur $I$, telle que l'aire totale sous sa courbe vaut 1 : $\int_I f = 1$. Une variable aléatoire $X$ suit la loi de densité $f$ si, pour tout intervalle $[c\,;\,d] \subset I$ : $$P(c \leqslant X \leqslant d) = \int_c^d f(t)\,\mathrm{d}t.$$

$P(X = c) = \int_c^c f = 0$ : les inégalités peuvent être larges ou strictes, cela ne change rien.
La fonction de répartition $F(x) = P(X \leqslant x)$ est croissante, de limites 0 et 1 ; $P(c \leqslant X \leqslant d) = F(d) - F(c)$.
Espérance : $E(X) = \displaystyle\int_I t\,f(t)\,\mathrm{d}t$ ; variance : $V(X) = \displaystyle\int_I \big(t - E(X)\big)^2 f(t)\,\mathrm{d}t$ (sous réserve d'existence).

Vérifie que $f$ est continue et positive sur $I$.
Calcule l'intégrale sur $I$ (avec une primitive) et vérifie qu'elle vaut 1.

Exemple : $f(t) = \frac32 t^2$ sur $[-1\,;\,1]$. $f$ est continue et positive, et $\int_{-1}^1 \frac32t^2\,\mathrm{d}t = \big[\frac{t^3}{2}\big]_{-1}^1 = \frac12 + \frac12 = 1$ : c'est bien une densité.

2. Loi uniforme

$X$ suit la loi uniforme sur $[a\,;\,b]$ ($a < b$) si sa densité est constante : $f(t) = \dfrac{1}{b - a}$ sur $[a\,;\,b]$. Pour $[c\,;\,d] \subset [a\,;\,b]$ : $$P(c \leqslant X \leqslant d) = \frac{d - c}{b - a} \quad(\text{longueur favorable sur longueur totale}).$$ Espérance $E(X) = \dfrac{a + b}{2}$ (le milieu) ; variance $V(X) = \dfrac{(b - a)^2}{12}$.

Un bus passe toutes les 15 minutes ; on arrive au hasard. Le temps d'attente $T$ suit la loi uniforme sur $[0\,;\,15]$. $P(T \leqslant 5) = \frac{5}{15} = \frac13$ ; attente moyenne $E(T) = 7{,}5$ min.

$E(X) = \displaystyle\int_a^b \frac{t}{b - a}\,\mathrm{d}t = \frac{1}{b - a}\left[\frac{t^2}{2}\right]_a^b = \frac{b^2 - a^2}{2(b - a)} = \frac{(b - a)(b + a)}{2(b - a)} = \frac{a + b}{2}.$

3. Loi exponentielle

$X$ suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda$ si sa densité sur $[0\,;\,+\infty[$ est $f(t) = \lambda\,\mathrm{e}^{-\lambda t}$. Pour tout $x \geqslant 0$ : $$P(X \leqslant x) = \int_0^x \lambda\mathrm{e}^{-\lambda t}\,\mathrm{d}t = \big[-\mathrm{e}^{-\lambda t}\big]_0^x = 1 - \mathrm{e}^{-\lambda x}, \qquad P(X > x) = \mathrm{e}^{-\lambda x}.$$ Espérance (admise) : $E(X) = \dfrac1\lambda$.

Pour tous $s, t \geqslant 0$ : $\;P_{X > s}(X > s + t) = \dfrac{\mathrm{e}^{-\lambda(s + t)}}{\mathrm{e}^{-\lambda s}} = \mathrm{e}^{-\lambda t} = P(X > t)$. Un composant qui a déjà fonctionné $s$ heures a la même probabilité de durer encore $t$ heures qu'un composant neuf : il ne « vieillit » pas. C'est le pendant continu de la loi géométrique.

Si on connaît la durée moyenne $E(X) = m$, alors $\lambda = \dfrac1m$.
Probabilité de durer plus de $x$ : $\mathrm{e}^{-\lambda x}$ ; moins de $x$ : $1 - \mathrm{e}^{-\lambda x}$ ; entre $c$ et $d$ : $\mathrm{e}^{-\lambda c} - \mathrm{e}^{-\lambda d}$.
Pour trouver $x$ tel que $P(X \leqslant x) = \alpha$ : $1 - \mathrm{e}^{-\lambda x} = \alpha \iff x = -\dfrac{\ln(1 - \alpha)}{\lambda}$.

Demi-vie d'un noyau radioactif : la durée $x$ telle que $P(X \leqslant x) = \frac12$, soit $x = \dfrac{\ln 2}{\lambda}$.

4. Simuler une loi à densité

random() simule la loi uniforme sur $[0\,;\,1]$ ; a + (b - a)*random() la loi uniforme sur $[a\,;\,b]$.
Bernoulli : 1 if random() < p else 0 ; dé : int(6*random()) + 1.
Exponentielle : si $U$ suit la loi uniforme sur $]0\,;\,1]$, alors $X = -\dfrac{\ln U}{\lambda}$ suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda$.

from random import random
from math import log

lam = 0.5
N = 100000
durees = [-log(1 - random()) / lam for _ in range(N)]

print("moyenne observée :", sum(durees) / N, " espérance 1/λ :", 1 / lam)
print("fréquence de X > 3 :", sum(1 for d in durees if d > 3) / N)

Mini-jeux

Exercices

Un train a un retard $R$ (en minutes) qui suit la loi uniforme sur $[0\,;\,20]$. Calculer $P(R \leqslant 5)$, $P(8 \leqslant R \leqslant 14)$ et le retard moyen.

$\frac{5}{20} = 0{,}25$ ; $\;\frac{6}{20} = 0{,}3$ ; $\;E(R) = 10$ minutes.

La durée de vie $D$ (en années) d'une ampoule suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0{,}2$. Durée de vie moyenne ? Probabilité qu'elle dure plus de 5 ans (arrondie à 0,01) ?

$P(D > 5) \approx$

$E(D) = \frac{1}{0{,}2} = 5$ ans. $P(D > 5) = \mathrm{e}^{-0{,}2\times5} = \mathrm{e}^{-1} \approx 0{,}37$ : contre-intuitif, moins de 4 ampoules sur 10 dépassent la durée moyenne !

La durée d'un appel téléphonique suit une loi exponentielle ; 30 % des appels durent plus de 5 minutes. Déterminer $\lambda$, puis la durée moyenne d'un appel.

$\mathrm{e}^{-5\lambda} = 0{,}3 \iff \lambda = -\frac{\ln 0{,}3}{5} \approx 0{,}241$. Durée moyenne $\frac1\lambda \approx 4{,}15$ minutes.

Soit $f(t) = k\,t$ sur $[0\,;\,2]$. Déterminer $k$ pour que $f$ soit une densité, puis calculer $P(X \leqslant 1)$ et $E(X)$.

$\int_0^2 kt\,\mathrm{d}t = 2k = 1$ donc $k = \frac12$. $P(X \leqslant 1) = \int_0^1 \frac t2\,\mathrm{d}t = \frac14$. $E(X) = \int_0^2 t\times\frac t2\,\mathrm{d}t = \big[\frac{t^3}{6}\big]_0^2 = \frac43$.

Un appareil a une durée de vie exponentielle de moyenne 10 ans. Il fonctionne depuis 6 ans. Quelle est la probabilité qu'il fonctionne encore dans 4 ans ? Comparer avec la probabilité qu'un appareil neuf dure 4 ans. Ce modèle est-il réaliste pour une voiture ?

$\lambda = 0{,}1$. $P_{X > 6}(X > 10) = P(X > 4) = \mathrm{e}^{-0{,}4} \approx 0{,}67$, comme pour un appareil neuf. Pour une voiture, l'usure rend ce modèle peu réaliste : la loi exponentielle convient aux pannes « accidentelles » (composants électroniques, désintégration radioactive), pas aux phénomènes de vieillissement.