Limites, continuité et fonction réciproque
Comment se comporte une fonction « au bout » de son intervalle ? Une courbe tracée sans lever le crayon coupe-t-elle forcément une droite horizontale ? Ces questions intuitives mènent aux limites, aux asymptotes et au théorème des valeurs intermédiaires.
- Connaître les limites des fonctions de référence
- Interpréter une limite par une asymptote
- Utiliser le théorème des valeurs intermédiaires
- Encadrer une solution d'équation (balayage, dichotomie)
Cours
1. Limites des fonctions de référence
Dire que $f(x)$ tend vers $\ell$ quand $x$ tend vers $+\infty$ signifie que $f(x)$ est aussi proche de $\ell$ que l'on veut dès que $x$ est assez grand. On note $\lim\limits_{x\to+\infty} f(x) = \ell$. On définit de même une limite infinie, ou une limite quand $x$ tend vers un réel $a$.
| Fonction | en $-\infty$ | en $0$ | en $+\infty$ |
|---|---|---|---|
| $x^2$ | $+\infty$ | $0$ | $+\infty$ |
| $x^3$ | $-\infty$ | $0$ | $+\infty$ |
| $\sqrt x$ | — | $0$ | $+\infty$ |
| $\dfrac1x$ | $0$ | $-\infty$ à gauche, $+\infty$ à droite | $0$ |
| $\mathrm{e}^x$ | $0$ | $1$ | $+\infty$ |
| $\ln x$ | — | $-\infty$ (à droite) | $+\infty$ |
On combine les limites comme on s'y attend : si $f \to 3$ et $g \to +\infty$, alors $f + g \to +\infty$, $fg \to +\infty$, $\frac{f}{g} \to 0$. Les cas « $\infty - \infty$ », « $0\times\infty$ », « $\frac{\infty}{\infty}$ », « $\frac00$ » sont indéterminés : il faut transformer l'écriture (factoriser par le terme dominant…).
- Repère le terme qui « l'emporte » en $+\infty$ (la plus haute puissance de $x$).
- Mets-le en facteur, au numérateur et au dénominateur.
- Simplifie, puis utilise $\frac{1}{x} \to 0$.
$\dfrac{2x^2 + 1}{x^2 - 3x} = \dfrac{x^2\left(2 + \frac{1}{x^2}\right)}{x^2\left(1 - \frac3x\right)} = \dfrac{2 + \frac{1}{x^2}}{1 - \frac3x} \xrightarrow[x\to+\infty]{} \dfrac{2}{1} = 2$.
En $+\infty$, l'exponentielle l'emporte sur toute puissance, qui l'emporte sur le logarithme : $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\mathrm{e}^x}{x} = +\infty$ et $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x} = 0$.
2. Asymptotes
- Si $\lim\limits_{x\to+\infty} f(x) = \ell$ (ou en $-\infty$), la droite $y = \ell$ est asymptote horizontale à la courbe.
- Si $\lim\limits_{x\to a} f(x) = \pm\infty$, la droite $x = a$ est asymptote verticale.
3. Continuité
Une fonction est continue sur un intervalle si sa courbe se trace sans lever le crayon. Les fonctions de référence (polynômes, racine carrée, inverse sur chaque intervalle, exponentielle, logarithme) et leurs combinaisons sont continues sur leur ensemble de définition. On admet qu'une fonction dérivable sur un intervalle y est continue.
La fonction « partie entière » (qui à $x$ associe le plus grand entier inférieur ou égal à $x$) n'est pas continue : sa courbe fait des « sauts » en chaque entier.
4. Théorème des valeurs intermédiaires
Si $f$ est continue sur $[a\,;\,b]$, alors pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, l'équation $f(x) = k$ admet au moins une solution dans $[a\,;\,b]$.
Cas d'une fonction strictement monotone : si de plus $f$ est strictement croissante (ou strictement décroissante) sur $[a\,;\,b]$, cette solution est unique.
- Étudie les variations de $f$ (dérivée) et dresse son tableau de variations.
- Sur un intervalle où $f$ est continue et strictement monotone, vérifie que $k$ est compris entre les valeurs (ou limites) aux bornes.
- Conclus : « d'après le théorème des valeurs intermédiaires (cas strictement monotone), l'équation $f(x) = k$ admet une unique solution $\alpha$ sur cet intervalle ».
- Encadre $\alpha$ à la calculatrice (tableau de valeurs), par balayage ou par dichotomie.
$f(x) = x^3 + x - 1$ sur $[0\,;\,1]$ : $f'(x) = 3x^2 + 1 > 0$, $f$ est continue et strictement croissante ; $f(0) = -1 < 0 < 1 = f(1)$. L'équation $f(x) = 0$ a donc une unique solution $\alpha \in [0\,;\,1]$. Comme $f(0{,}68) \approx -0{,}006$ et $f(0{,}69) \approx 0{,}018$ : $0{,}68 < \alpha < 0{,}69$.
5. Fonction réciproque
Si $f$ est continue et strictement monotone sur un intervalle $I$, alors pour tout $y$ de l'intervalle image $f(I)$, l'équation $f(x) = y$ a une unique solution $x \in I$. On définit ainsi la fonction réciproque $f^{-1}$ : $\;y = f(x) \iff x = f^{-1}(y)$.
Les courbes de $f$ et de $f^{-1}$ sont symétriques par rapport à la droite $y = x$.
- Sur $[0\,;\,+\infty[$, la fonction carré a pour réciproque la fonction racine carrée : $y = x^2 \iff x = \sqrt y$.
- La fonction exponentielle, continue et strictement croissante sur $\mathbb{R}$, à valeurs dans $]0\,;\,+\infty[$, a pour réciproque le logarithme népérien (chapitre suivant).
Mini-jeux
Exercices
Déterminer : $\lim\limits_{x\to+\infty}\left(x^2 + \frac1x\right)$ ; $\;\lim\limits_{x\to-\infty}\left(3 + \mathrm{e}^x\right)$ ; $\;\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{5}{\sqrt x}$ ; $\;\lim\limits_{x\to0^+}\left(\ln x - 2\right)$.
$+\infty$ ; $\;3$ ; $\;0$ ; $\;-\infty$.
Soit $f(x) = 2 + \dfrac{3}{x - 1}$ sur $]1\,;\,+\infty[$. Déterminer les limites de $f$ en $1$ et en $+\infty$ ; interpréter graphiquement.
Quand $x \to 1^+$, $x - 1 \to 0^+$ donc $\frac{3}{x - 1} \to +\infty$ et $f(x) \to +\infty$ : asymptote verticale $x = 1$. En $+\infty$, $\frac{3}{x-1} \to 0$ donc $f(x) \to 2$ : asymptote horizontale $y = 2$.
Calculer $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{3x^2 - x + 4}{x^2 + 1}$.
Limite :
On factorise par $x^2$ : $\dfrac{3 - \frac1x + \frac{4}{x^2}}{1 + \frac{1}{x^2}} \to \dfrac{3}{1} = 3$.
On donne le tableau de variations de $f$ sur $[-2\,;\,5]$ : $f$ croît de $f(-2) = -4$ à $f(1) = 3$, puis décroît jusqu'à $f(5) = -1$. Combien de solutions l'équation $f(x) = 0$ admet-elle ? Et $f(x) = -2$ ?
Sur $[-2\,;\,1]$, $f$ est continue strictement croissante et $0 \in [-4\,;\,3]$ : une solution. Sur $[1\,;\,5]$, $f$ décroît de 3 à $-1$ et $0 \in [-1\,;\,3]$ : une solution. Total : deux solutions. Pour $-2$ : une solution sur $[-2\,;\,1]$, aucune sur $[1\,;\,5]$ (car $-2 < -1$) : une solution.
Montrer que $\mathrm{e}^x = 3 - x$ admet une unique solution $\alpha$ sur $\mathbb{R}$ (étudier $g(x) = \mathrm{e}^x + x$), puis en donner un encadrement d'amplitude $0{,}1$.
L'équation s'écrit $g(x) = 3$. $g'(x) = \mathrm{e}^x + 1 > 0$ : $g$ est continue et strictement croissante ; ses limites sont $-\infty$ et $+\infty$ (car $\mathrm{e}^x \to 0$ en $-\infty$). Donc $g(x) = 3$ a une unique solution. $g(0{,}7) \approx 2{,}71$ et $g(0{,}8) \approx 3{,}03$ : $0{,}7 < \alpha < 0{,}8$.
Une entreprise fabrique $x$ centaines d'objets ($x > 0$) pour un coût $C(x) = x^2 + 2x + 9$ (en milliers d'euros). Le coût moyen est $C_M(x) = \dfrac{C(x)}{x}$.
- Déterminer les limites de $C_M$ en $0$ et en $+\infty$.
- Étudier les variations de $C_M$ et déterminer la production qui minimise le coût moyen.
- $C_M(x) = x + 2 + \frac9x$ : en $0^+$, $\frac9x \to +\infty$ donc $C_M \to +\infty$ ; en $+\infty$, $C_M \to +\infty$.
- $C_M'(x) = 1 - \frac{9}{x^2} = \frac{(x - 3)(x + 3)}{x^2}$ : négatif sur $]0\,;\,3]$, positif ensuite. Minimum pour $x = 3$ (300 objets) : $C_M(3) = 8$ milliers d'euros par centaine.