Calcul intégral

Mesurer l'aire sous une courbe : un problème vieux comme Archimède, résolu au XVIIe siècle par une idée géniale : les aires se calculent avec les primitives. L'intégrale sert aussi à calculer des moyennes, des distances parcourues, des quantités cumulées.

  • Interpréter une intégrale comme une aire
  • Calculer une intégrale avec une primitive
  • Calculer une valeur moyenne
  • Approcher une intégrale (rectangles, Monte-Carlo)

Cours

1. Intégrale d'une fonction positive

Dans un repère orthogonal, l'unité d'aire (u.a.) est l'aire du rectangle construit sur les vecteurs unités. Soit $f$ continue et positive sur $[a\,;\,b]$. L'intégrale de $f$ de $a$ à $b$ est l'aire (en u.a.) du domaine compris entre la courbe, l'axe des abscisses et les droites $x = a$ et $x = b$. On la note $\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$.

  • Relation de Chasles : $\displaystyle\int_a^c f(x)\,\mathrm{d}x = \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x + \int_b^c f(x)\,\mathrm{d}x$ (les aires s'ajoutent).
  • Si $0 \leqslant f \leqslant g$ sur $[a\,;\,b]$, alors $\displaystyle\int_a^b f \leqslant \int_a^b g$.
  • La variable est « muette » : $\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = \int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t$.

2. Approcher une intégrale : les rectangles

  1. Découpe $[a\,;\,b]$ en $n$ intervalles de même largeur $h = \dfrac{b - a}{n}$.
  2. Sur chacun, construis un rectangle de hauteur $f(x_i)$ ($x_i = a + ih$, extrémité gauche).
  3. La somme $S_n = h\displaystyle\sum_{i=0}^{n-1} f(x_i)$ approche l'intégrale, d'autant mieux que $n$ est grand.

Pour une fonction croissante, les rectangles « à gauche » sont en dessous de la courbe et ceux « à droite » au-dessus : on obtient un encadrement.

3. Intégrale et primitive

Si $f$ est continue, positive et croissante sur $[a\,;\,b]$, alors la fonction $F(x) = \displaystyle\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t$ est dérivable sur $[a\,;\,b]$ et $F' = f$.

Soit $x \in [a\,;\,b[$ et $h > 0$ tel que $x + h \leqslant b$. Par la relation de Chasles, $F(x + h) - F(x) = \displaystyle\int_x^{x+h} f(t)\,\mathrm{d}t$ : c'est l'aire sous la courbe entre $x$ et $x + h$.

Comme $f$ est croissante, pour $t \in [x\,;\,x + h]$, $f(x) \leqslant f(t) \leqslant f(x + h)$. L'aire est donc comprise entre celles des rectangles de largeur $h$ et de hauteurs $f(x)$ et $f(x + h)$ : $$h\,f(x) \leqslant F(x + h) - F(x) \leqslant h\,f(x + h), \quad\text{donc}\quad f(x) \leqslant \frac{F(x + h) - F(x)}{h} \leqslant f(x + h).$$

Quand $h \to 0$, $f(x + h) \to f(x)$ car $f$ est continue. Par le théorème des gendarmes, le taux d'accroissement tend vers $f(x)$. On raisonne de même pour $h < 0$. Donc $F$ est dérivable en $x$ et $F'(x) = f(x)$. $\blacksquare$

Si $f$ est continue sur $[a\,;\,b]$ et si $F$ est une primitive de $f$, alors $\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = F(b) - F(a)$, que l'on note $\big[F(x)\big]_a^b$.

  1. Trouve une primitive $F$ de $f$ (et vérifie-la en dérivant).
  2. Écris $\big[F(x)\big]_a^b$, puis calcule $F(b) - F(a)$ avec des parenthèses.

$\displaystyle\int_1^3 (2x + 1)\,\mathrm{d}x = \big[x^2 + x\big]_1^3 = (9 + 3) - (1 + 1) = 10$. $\quad\displaystyle\int_0^1 \mathrm{e}^{x}\,\mathrm{d}x = \big[\mathrm{e}^x\big]_0^1 = \mathrm{e} - 1$.

4. Fonctions de signe quelconque, aire entre deux courbes

La formule $\int_a^b f = F(b) - F(a)$ reste la définition de l'intégrale quand $f$ change de signe. Les parties situées sous l'axe comptent négativement. Par exemple $\displaystyle\int_0^{2} (x - 1)\,\mathrm{d}x = 0$ : les deux triangles se compensent.

Si $f \geqslant g$ sur $[a\,;\,b]$, l'aire du domaine entre les deux courbes est $\displaystyle\int_a^b \big(f(x) - g(x)\big)\,\mathrm{d}x$. Étapes : chercher les points d'intersection, déterminer quelle courbe est au-dessus (signe de $f - g$), intégrer la différence.

5. Valeur moyenne

La valeur moyenne de $f$ continue sur $[a\,;\,b]$ ($a < b$) est $\mu = \dfrac{1}{b - a}\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$. Si $f$ est positive, $\mu$ est la hauteur du rectangle de base $[a\,;\,b]$ ayant la même aire que le domaine sous la courbe. Si $m \leqslant f \leqslant M$ sur $[a\,;\,b]$, alors $m \leqslant \mu \leqslant M$.

La température (en °C) au cours d'une journée est modélisée par $T(t) = -0{,}05t^2 + 1{,}2t + 8$, $t \in [0\,;\,24]$ en heures. Température moyenne : $\dfrac{1}{24}\big[-\frac{0{,}05}{3}t^3 + 0{,}6t^2 + 8t\big]_0^{24} = \dfrac{1}{24}(-230{,}4 + 345{,}6 + 192) = 12{,}8$ °C.

6. Méthode de Monte-Carlo

On tire au hasard $N$ points dans un rectangle d'aire $\mathcal{R}$ contenant le domaine. Si $k$ points tombent sous la courbe, l'aire est estimée par $\dfrac{k}{N}\times\mathcal{R}$ (loi des grands nombres). Précision de l'ordre de $\frac{1}{\sqrt N}$ : lente, mais valable même quand on ne connaît pas de primitive.

from math import exp
from random import random

def rectangles(n):
    h = 1 / n
    return sum(h * exp(i * h) for i in range(n))

def monte_carlo(N):
    k = 0
    for _ in range(N):
        x, y = random(), 3 * random()   # rectangle [0 ; 1] × [0 ; 3]
        if y <= exp(x):
            k += 1
    return 3 * k / N

print("rectangles :", rectangles(100))
print("Monte-Carlo :", monte_carlo(100000))
print("exact e - 1 :", exp(1) - 1)

Mini-jeux

Exercices

Calculer sans primitive, en interprétant comme une aire : $\displaystyle\int_0^4 3\,\mathrm{d}x$ ; $\;\displaystyle\int_0^2 x\,\mathrm{d}x$ ; $\;\displaystyle\int_{-1}^{1} (x + 1)\,\mathrm{d}x$.

Rectangle $4\times3 = 12$ ; triangle $\frac{2\times2}{2} = 2$ ; triangle de base 2 et hauteur 2 : $2$.

Calculer $I = \displaystyle\int_0^2 (3x^2 - 2x + 1)\,\mathrm{d}x$.

$I =$

$\big[x^3 - x^2 + x\big]_0^2 = 8 - 4 + 2 = 6$.

Calculer l'aire du domaine compris entre la parabole $y = x^2$ et la droite $y = x$.

Intersections : $x^2 = x \iff x = 0$ ou $x = 1$. Sur $[0\,;\,1]$, $x \geqslant x^2$. Aire $= \displaystyle\int_0^1 (x - x^2)\,\mathrm{d}x = \left[\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac12 - \frac13 = \frac16$ u.a.

La concentration d'un médicament (en mg/L) est $c(t) = 20\,\mathrm{e}^{-0{,}5t}$, $t$ en heures. Calculer la concentration moyenne sur les 4 premières heures.

$\mu = \dfrac14\displaystyle\int_0^4 20\mathrm{e}^{-0{,}5t}\,\mathrm{d}t = \dfrac14\big[-40\mathrm{e}^{-0{,}5t}\big]_0^4 = \dfrac14\times40\left(1 - \mathrm{e}^{-2}\right) = 10\left(1 - \mathrm{e}^{-2}\right) \approx 8{,}65$ mg/L.

Une voiture freine : sa vitesse est $v(t) = 20 - 4t$ (m/s) pour $t \in [0\,;\,5]$. Quelle distance parcourt-elle avant de s'arrêter ?

Distance $= \displaystyle\int_0^5 (20 - 4t)\,\mathrm{d}t = \big[20t - 2t^2\big]_0^5 = 100 - 50 = 50$ m.

Archimède montre que l'aire sous $y = x^2$ entre 0 et 1 vaut $\frac13$. Retrouver ce résultat avec les rectangles à droite : $S_n = \dfrac1n\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\left(\dfrac kn\right)^2$, sachant que $1^2 + 2^2 + \dots + n^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.

$S_n = \dfrac{1}{n^3}\times\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \dfrac{(n+1)(2n+1)}{6n^2} = \dfrac{2n^2 + 3n + 1}{6n^2} = \dfrac13 + \dfrac{1}{2n} + \dfrac{1}{6n^2} \to \dfrac13$. On retrouve $\displaystyle\int_0^1 x^2\,\mathrm{d}x = \big[\tfrac{x^3}{3}\big]_0^1 = \tfrac13$.