Dérivation et convexité
La dérivée dit si une fonction monte ou descend ; la dérivée seconde dit si elle « tourne » vers le haut ou vers le bas. On complète les formules de Première avec de nouvelles fonctions composées, puis on étudie la forme des courbes.
- Dériver f(ax + b), eᵘ, ln u et u²
- Dresser un tableau de variations
- Étudier la convexité avec f''
- Repérer un point d'inflexion
Cours
1. Rappels : dérivées usuelles et opérations
| $f(x)$ | $k$ | $x^n$ | $\dfrac1x$ | $\sqrt x$ | $\mathrm{e}^x$ | $\ln x$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $f'(x)$ | $0$ | $nx^{n-1}$ | $-\dfrac{1}{x^2}$ | $\dfrac{1}{2\sqrt x}$ | $\mathrm{e}^x$ | $\dfrac1x$ |
$(u + v)' = u' + v'$ ; $\;(ku)' = ku'$ ; $\;(uv)' = u'v + uv'$ ; $\;\left(\dfrac uv\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$.
2. Nouvelles formules de dérivation
- $\big(g(ax + b)\big)' = a\,g'(ax + b)$ — par exemple $\big((3x - 1)^5\big)' = 3\times5(3x - 1)^4 = 15(3x - 1)^4$.
- $\left(\mathrm{e}^{u}\right)' = u'\,\mathrm{e}^{u}$ — par exemple $\left(\mathrm{e}^{-x^2}\right)' = -2x\,\mathrm{e}^{-x^2}$.
- $\left(\ln u\right)' = \dfrac{u'}{u}$ (pour $u > 0$) — par exemple $\left(\ln(x^2 + 1)\right)' = \dfrac{2x}{x^2 + 1}$.
- $\left(u^2\right)' = 2u'u$ — par exemple $\left((x^2 + 3)^2\right)' = 2\times2x\times(x^2 + 3) = 4x(x^2 + 3)$.
Si $u$ est dérivable sur un intervalle $I$, alors $f = \mathrm{e}^{u}$ est dérivable sur $I$ et $f' = u'\,\mathrm{e}^{u}$ (on admet la dérivabilité).
On traite le cas $u(x) = ax + b$, le cas général se démontre de la même façon avec la dérivée d'une composée. Soit $x \in I$ et $h \neq 0$ :
$$\frac{f(x + h) - f(x)}{h} = \frac{\mathrm{e}^{ax + b + ah} - \mathrm{e}^{ax + b}}{h} = \mathrm{e}^{ax + b}\times a\times\frac{\mathrm{e}^{ah} - 1}{ah}.$$
Quand $h \to 0$, $H = ah \to 0$ et $\dfrac{\mathrm{e}^{H} - 1}{H} \to \exp'(0) = \mathrm{e}^0 = 1$. Donc le taux d'accroissement tend vers $a\,\mathrm{e}^{ax + b} = u'(x)\,\mathrm{e}^{u(x)}$. $\blacksquare$
- Identifie la forme générale : somme, produit, quotient, $\mathrm{e}^u$, $\ln u$, $u^2$ ?
- Nomme les morceaux ($u = \dots$, $v = \dots$) et calcule leurs dérivées à part.
- Applique la formule, puis factorise le résultat : c'est lui qui servira à étudier le signe.
$f(x) = x\,\mathrm{e}^{-x}$ : produit avec $u = x$, $v = \mathrm{e}^{-x}$, $u' = 1$, $v' = -\mathrm{e}^{-x}$. $\;f'(x) = \mathrm{e}^{-x} - x\,\mathrm{e}^{-x} = (1 - x)\,\mathrm{e}^{-x}$, du signe de $1 - x$ car $\mathrm{e}^{-x} > 0$.
3. Variations et extremums
Sur un intervalle : si $f' > 0$ (sauf éventuellement en des points isolés), $f$ est strictement croissante ; si $f' < 0$, elle est strictement décroissante. Si $f'$ s'annule en changeant de signe en $a$, $f$ admet un extremum local en $a$.
4. Fonctions convexes et concaves
Une fonction $f$ est convexe sur un intervalle $I$ si, sur $I$, sa courbe est située en dessous de chacune de ses cordes (segments reliant deux points de la courbe). Elle est concave si sa courbe est au-dessus de ses cordes.
Pour $f$ dérivable sur $I$ : $f$ est convexe sur $I$ $\iff$ sa courbe est au-dessus de toutes ses tangentes $\iff$ $f'$ est croissante sur $I$. Si $f$ est deux fois dérivable, on note $f'' = (f')'$ la dérivée seconde : $f$ est convexe sur $I$ $\iff$ $f'' \geqslant 0$ sur $I$.
Exemples : $x \mapsto x^2$ et $\exp$ sont convexes sur $\mathbb{R}$ ; $\ln$ et $\sqrt{\ }$ sont concaves sur $]0\,;\,+\infty[$.
Un point d'inflexion est un point où la courbe traverse sa tangente : la fonction passe de convexe à concave (ou l'inverse). Si $f''$ s'annule en changeant de signe en $a$, le point d'abscisse $a$ est un point d'inflexion.
- Calcule $f'$, puis $f'' = (f')'$.
- Étudie le signe de $f''$ (tableau de signes).
- $f'' \geqslant 0$ : convexe ; $f'' \leqslant 0$ : concave ; changement de signe : point d'inflexion.
$f(x) = x^3 - 6x^2 + 5$ : $f'(x) = 3x^2 - 12x$, $f''(x) = 6x - 12$, négatif pour $x < 2$, positif pour $x > 2$. $f$ est concave sur $]-\infty\,;\,2]$, convexe sur $[2\,;\,+\infty[$ ; le point $(2\,;\,-11)$ est un point d'inflexion.
Une courbe convexe est au-dessus de ses tangentes : cela donne des inégalités. La tangente à $\exp$ en 0 est $y = x + 1$, donc $\mathrm{e}^x \geqslant x + 1$ pour tout réel $x$. En économie, un coût convexe signifie que chaque unité supplémentaire coûte de plus en plus cher (rendements décroissants).
Mini-jeux
Exercices
Dériver : $f_1(x) = (2x + 1)^3$ ; $\;f_2(x) = \mathrm{e}^{3x - 2}$ ; $\;f_3(x) = \ln(5x + 2)$ sur $]-\frac25\,;\,+\infty[$ ; $\;f_4(x) = (x^2 - 1)^2$.
$f_1' = 6(2x + 1)^2$ ; $\;f_2' = 3\mathrm{e}^{3x - 2}$ ; $\;f_3' = \dfrac{5}{5x + 2}$ ; $\;f_4' = 2\times2x\times(x^2 - 1) = 4x(x^2 - 1)$.
Étudier les variations de $f(x) = x\,\mathrm{e}^{-x}$ sur $\mathbb{R}$ et donner son maximum.
$f'(x) = (1 - x)\,\mathrm{e}^{-x}$ : positif sur $]-\infty\,;\,1]$, négatif sur $[1\,;\,+\infty[$. Maximum $f(1) = \mathrm{e}^{-1} = \frac1{\mathrm{e}} \approx 0{,}37$.
Soit $g(x) = \mathrm{e}^{-x^2}$. Calculer $g''(x)$ et étudier la convexité de $g$. Combien de points d'inflexion la courbe admet-elle ?
$g'(x) = -2x\,\mathrm{e}^{-x^2}$ ; $\;g''(x) = -2\mathrm{e}^{-x^2} + (-2x)(-2x)\mathrm{e}^{-x^2} = (4x^2 - 2)\,\mathrm{e}^{-x^2}$, du signe de $4x^2 - 2$ : positif pour $|x| > \frac{1}{\sqrt2}$, négatif entre. $g$ est convexe sur $\left]-\infty\,;\,-\frac{1}{\sqrt2}\right]$ et $\left[\frac{1}{\sqrt2}\,;\,+\infty\right[$, concave entre : deux points d'inflexion (la célèbre « courbe en cloche »).
Montrer que pour tout $x > 0$, $\ln x \leqslant x - 1$ (utiliser la concavité de $\ln$ et sa tangente en 1).
$\ln''(x) = -\frac{1}{x^2} < 0$ : $\ln$ est concave, donc sa courbe est en dessous de ses tangentes. La tangente en 1 : $y = \ln'(1)(x - 1) + \ln 1 = x - 1$. D'où $\ln x \leqslant x - 1$.
La valeur d'un placement risqué est modélisée par $V(t) = 100\,\mathrm{e}^{0{,}05t} - t^2$ (en milliers d'euros, $t$ en années, $t \in [0\,;\,10]$). Étudier la convexité de $V$, puis ses variations.
$V'(t) = 5\mathrm{e}^{0{,}05t} - 2t$ et $V''(t) = 0{,}25\,\mathrm{e}^{0{,}05t} - 2$. Sur $[0\,;\,10]$, $\mathrm{e}^{0{,}05t} \leqslant \mathrm{e}^{0{,}5} \approx 1{,}65$, donc $V''(t) \leqslant 0{,}42 - 2 < 0$ : $V$ est concave, et $V'$ est strictement décroissante (la croissance ralentit dès le départ). $V'(0) = 5 > 0$ et $V'(10) = 5\mathrm{e}^{0{,}5} - 20 \approx -11{,}8 < 0$ : d'après le théorème des valeurs intermédiaires, $V'$ s'annule une seule fois, en $t_0 \approx 2{,}9$ ($V'(2{,}8) \approx 0{,}15$, $V'(2{,}9) \approx -0{,}02$). $V$ croît jusqu'à $t_0$ (environ 2 ans et 11 mois) puis décroît.