Automatismes
Pourcentages et évolutions, suites, dérivées, exponentielle et logarithme, primitives, lois de probabilité : ces réflexes font gagner un temps précieux dans tous les problèmes. Quelques minutes par jour, un thème à la fois, et bats ton record.
- Évolutions et suites
- Dérivées, exponentielle, logarithme
- Primitives et intégrales
- Lois de probabilité et statistique
- Évolutions : coefficient multiplicateur $1 + \frac{t}{100}$, évolutions successives (on multiplie les coefficients), évolution réciproque.
- Suites : terme général et somme d'une suite géométrique, limite de $q^n$ et de $1 + q + \dots + q^n$ pour $0 < q < 1$, équilibre d'une suite $u_{n+1} = au_n + b$.
- Fonctions : dériver $g(ax + b)$, $\mathrm{e}^u$, $\ln u$, $u^2$ ; limites de référence ; convexité par le signe de $f''$.
- Logarithme : $\ln(ab) = \ln a + \ln b$, $\ln(q^n) = n\ln q$, résoudre $\mathrm{e}^x = k$ et $q^n \geqslant A$.
- Primitives et intégrales : primitives usuelles, $\int_a^b f = F(b) - F(a)$, solutions de $y' = ay + b$.
- Probabilités : lois de Bernoulli, binomiale, géométrique, uniforme, exponentielle : probabilités et espérances.
Défi mixte
Par thème
Fiche mémo
- $u_n = u_0q^n$ ; $\;1 + q + \dots + q^n = \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$ ; si $0 < q < 1$ : $q^n \to 0$ et $1 + q + \dots + q^n \to \dfrac{1}{1 - q}$.
- $u_{n+1} = au_n + b$ : équilibre $\ell = \frac{b}{1 - a}$ et $u_n = \ell + (u_0 - \ell)a^n$.
- $\ln(ab) = \ln a + \ln b$ ; $\ln\frac1a = -\ln a$ ; $\ln(a^n) = n\ln a$ ; $q^n \geqslant A \iff n\ln q \geqslant \ln A$ (le sens change si $q < 1$).
- $(g(ax + b))' = ag'(ax + b)$ ; $(\mathrm{e}^u)' = u'\mathrm{e}^u$ ; $(\ln u)' = \frac{u'}{u}$ ; $(u^2)' = 2u'u$.
- Convexe $\iff f'' \geqslant 0 \iff$ courbe au-dessus de ses tangentes.
- $y' = ay$ : $y = C\mathrm{e}^{ax}$ ; $\;y' = ay + b$ : $y = C\mathrm{e}^{ax} - \frac ba$.
- $\int_a^b f = F(b) - F(a)$ ; valeur moyenne $\frac{1}{b - a}\int_a^b f$.
| Loi | Probabilités | Espérance |
|---|---|---|
| Uniforme sur $\{1, \dots, n\}$ | $P(X = k) = \frac1n$ | $\frac{n+1}{2}$ |
| Bernoulli $p$ | $P(X = 1) = p$ | $p$ (variance $p(1-p)$) |
| Binomiale $\mathcal{B}(n\,;\,p)$ | $\binom nk p^k(1-p)^{n-k}$ | $np$ |
| Géométrique $p$ | $(1-p)^{k-1}p$ ; $P(X > k) = (1-p)^k$ | $\frac1p$ |
| Uniforme sur $[a\,;\,b]$ | $P(c \leqslant X \leqslant d) = \frac{d-c}{b-a}$ | $\frac{a+b}{2}$ |
| Exponentielle $\lambda$ | $P(X \leqslant x) = 1 - \mathrm{e}^{-\lambda x}$ | $\frac1\lambda$ |